미적분 예제

$(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = - 2 y^{3} + 1$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} + 1]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $- 2 y^{3} + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 y^{3}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

단계 1.3.3

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + 0$

단계 1.4.2

$- 6 y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2}$

단계 2

$N (x, y) = 3 x y^{2} + x^{3}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + x^{3}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $3 x y^{2} + x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$3 y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x y^{2}$ 의 미분은 $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 3 x^{2}$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 6 y^{2}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $3 x^{2} + 3 y^{2}$ 을 대입합니다.

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 6 y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{- 6 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $3 x^{2} + 3 y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $3 x y^{2} + x^{3}$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 $3 x y^{2} + x^{3}$ 를 대입합니다.

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2}) - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

단계 4.3.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

단계 4.3.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - 3 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

단계 4.3.2.4

$- 6 y^{2}$ 에서 $3 y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

단계 4.3.2.5

$- 3 x^{2} - 9 y^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.2.5.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2}) - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

단계 4.3.2.5.2

$- 9 y^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

단계 4.3.2.5.3

$3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

단계 4.3.3

$3 x y^{2} + x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.3.1

$3 x y^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x^{3}}$

단계 4.3.3.2

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}$

단계 4.3.3.3

$x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

단계 4.3.4

$- x^{2} - 3 y^{2}$ 및 $3 y^{2} + x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x^{2}) - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

단계 4.3.4.2

$- 3 y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x^{2}) - (3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

단계 4.3.4.3

$- (x^{2}) - (3 y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

단계 4.3.4.4

$- (x^{2} + 3 y^{2})$ 을 $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

단계 4.3.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

단계 4.3.4.6

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

단계 4.3.4.7

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

단계 4.3.5

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3}{x}$

단계 4.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{x}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

단계 5.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 5.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 5.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

단계 5.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

단계 6

$(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{x^{3}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$- 2 y^{3} + 1$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$(- 2 y^{3} + 1) \frac{1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

단계 6.2

$- 2 y^{3} + 1$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 y^{3} + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

단계 6.3

$- 2 y^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 y^{3}) + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

단계 6.4

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (2 y^{3}) - 1 (- 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

단계 6.5

$- (2 y^{3}) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

단계 6.6

$- (2 y^{3} - 1)$ 을 $- 1 (2 y^{3} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

단계 6.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

단계 6.8

$3 x y^{2} + x^{3}$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

단계 6.9

$3 x y^{2} + x^{3}$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 x y^{2} + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

단계 6.10

$3 x y^{2} + x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.10.1

$3 x y^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

단계 6.10.2

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}{x^{3}} d y = 0$

단계 6.10.3

$x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x^{3}} d y = 0$

단계 6.11

공약수로 약분합니다.

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단계 6.11.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

단계 6.11.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

단계 6.11.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y$

단계 8

$N (x, y) = \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{x^{2}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int 3 y^{2} + x^{2} d y$

단계 8.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int 3 y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

단계 8.3

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 \int y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

단계 8.4

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x^{2} d y)$

단계 8.5

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x^{2} y + C)$

단계 8.6

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + x^{2} y + C)$

단계 8.7

간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $g (x) = y^{3} + x^{2} y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + x^{2} y] + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.2

합의 법칙에 의해 $y^{3} + x^{2} y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.3

$y^{3}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{3}$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.4

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x^{2} y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.6

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.7

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.7.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.7.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.9

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{x^{2}} (0 + 2 \cdot y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.10

$0$ 를 $2 y x$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (2 y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.11

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x^{2}} (y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.12

$y$ 와 $\frac{2}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y \cdot 2}{x^{2}} x + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.13

$\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{y \cdot 2 x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.14

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot y x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.15

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.15.1

$2 y x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (2 y)}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.15.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.15.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.15.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.16

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.16.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.16.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.17

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.18

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.19

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.20

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.21

공통 분모를 가지는 분수로 $(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3})$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 y}{x} + \frac{(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.22

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.23

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 3}))}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.24

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 3})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.3.25

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 y + y^{3} (- 2 \frac{1}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y + y^{3} \frac{- 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 y + y^{3} (- \frac{2}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.3

$y^{3}$ 와 $\frac{2}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.4

$y^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 y - \frac{2 \cdot y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.5

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y \frac{- 2}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- \frac{2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.7

$x^{2}$ 와 $\frac{2}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + y (- \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.8

$y$ 와 $\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (x^{2} \cdot 2)}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.9

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (2 \cdot x^{2})}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.10

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.11

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.11.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.11.2

$2 y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - (2 y)}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.12

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - 2 y}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.13

$2 y$ 에서 $2 y$ 을 뺍니다.

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + 0}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.14

$- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.15

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.16

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 y^{3}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.17

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.17.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.17.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.17.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.3.17.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 11.5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.1

방정식의 양변에 $\frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

단계 12.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{3} + 2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

단계 12.1.1.3

$- 2 y^{3}$ 를 $2 y^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{x^{3}} = 0$

단계 12.1.1.4

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

단계 12.1.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

단계 12.1.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{x^{3}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

단계 13

$\frac{1}{x^{3}}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

단계 13.3

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

단계 13.4

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

단계 13.4.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

단계 13.5

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

단계 13.6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.6.1

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ 을 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

단계 13.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.6.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

단계 13.6.2.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

단계 13.6.2.3

$2$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 15

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $y^{3} + x^{2} y$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.1.2

$y^{3} + x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.2.1

$y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.1.2.2

$x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + y x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.1.2.3

$y \cdot y^{2} + y x^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $2 x^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.3.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{(y \cdot y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.5.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.2.1

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.2.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \frac{(y^{1} y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.5.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = \frac{(y^{1 + 2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.5.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3} \cdot 2 + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.5.4

$y^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.5.5

$y x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + 2 \cdot (y x^{2}) - 1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.5.6

괄호를 제거합니다.

$f (x, y) = \frac{2 y^{3} + 2 y x^{2} - 1}{2 x^{2}} + C$