미적분 예제

$x d y + (2 y - 10 x^{2}) d x = 0$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다시 씁니다.

$(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = 2 y - 10 x^{2}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y - 10 x^{2}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $2 y - 10 x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$- 10 x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 10 x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 10 x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

단계 2.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

단계 3

$N (x, y) = x$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$2 = 1$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 = 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 5.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{2 - 1}{N}$

단계 5.3

$N$ 에 $x$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$N$ 에 $x$ 를 대입합니다.

$\frac{2 - 1}{x}$

단계 5.3.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

단계 6

적분 $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

단계 6.2

답을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

단계 6.2.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = | x | + C$

단계 7

$(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $x$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$2 y - 10 x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(2 y - 10 x^{2}) x d x + x d y = 0$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 y x - 10 x^{2} x) d x + x d y = 0$

단계 7.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(2 y x - 10 (x \cdot x^{2})) d x + x d y = 0$

단계 7.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 y x - 10 (x^{1} x^{2})) d x + x d y = 0$

단계 7.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 y x - 10 x^{1 + 2}) d x + x d y = 0$

단계 7.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x d y = 0$

단계 7.4

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x \cdot x d y = 0$

단계 7.5

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x^{2} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

단계 9

$N (x, y) = x^{2}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

단계 10

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x - 10 x^{3}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} y + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

단계 12.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x^{2} y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

단계 12.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

단계 12.3.3

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

단계 12.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3}$

단계 12.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y x - 10 x^{3}$

단계 13

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 13.1.1

방정식의 양변에서 $2 x y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$

단계 13.1.2

$2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 13.1.2.1

인수가 항 $2 y x$ 과(와) $- 2 x y$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - 10 x^{3} - 2 x y$

단계 13.1.2.2

$2 x y$ 에서 $2 x y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3} + 0$

단계 13.1.2.3

$- 10 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$

단계 14

$- 10 x^{3}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 10 x^{3} d x$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int - 10 x^{3} d x$

단계 14.3

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 10$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = - 10 \int x^{3} d x$

단계 14.4

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

단계 14.5

답을 간단히 합니다.

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단계 14.5.1

$- 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ 을 $- 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

단계 14.5.2

간단히 합니다.

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단계 14.5.2.1

$- 10$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{- 10}{4} x^{4} + C$

단계 14.5.2.2

$- 10$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.5.2.2.1

$- 10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (x) = \frac{2 (- 5)}{4} x^{4} + C$

단계 14.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 14.5.2.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

단계 14.5.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

단계 14.5.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$g (x) = \frac{- 5}{2} x^{4} + C$

단계 14.5.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$g (x) = - \frac{5}{2} x^{4} + C$

단계 15

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5}{2} x^{4} + C$

단계 16

각 항을 간단히 합니다.

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단계 16.1

$x^{4}$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{4} \cdot 5}{2} + C$

단계 16.2

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5 x^{4}}{2} + C$