미적분 예제

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ 의 각 항을 $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ 의 각 항을 $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

단계 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

단계 1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}}$

단계 1.1.3.1.2

$4 x^{2}$ 을 ${(2 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

단계 1.1.3.1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = 2 x$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

단계 1.1.3.1.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

단계 1.1.3.2

$\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

단계 1.1.3.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

$\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

단계 1.1.3.3.2

$\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

단계 1.1.3.3.3

$\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

단계 1.1.3.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

단계 1.1.3.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

단계 1.1.3.3.6

${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ 을 $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 을(를) ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 1.1.3.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.1.3.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.1.3.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

단계 1.1.3.3.6.5

간단히 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

단계 1.2

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 8 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{8} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(1 + 2 x) (1 - 2 x)]$

단계 2.3.1.1.2

$f (x) = 1 + 2 x$ , $g (x) = 1 - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

단계 2.3.1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

단계 2.3.1.1.3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

단계 2.3.1.1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 에 더합니다.

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

단계 2.3.1.1.3.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

단계 2.3.1.1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

단계 2.3.1.1.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.3.6.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 + 2 x) \cdot - 2 + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

단계 2.3.1.1.3.6.2

$1 + 2 x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- 2 \cdot (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

단계 2.3.1.1.3.7

합의 법칙에 의해 $1 + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.3.1.1.3.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.3.1.1.3.9

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 에 더합니다.

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.3.1.1.3.10

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.1.1.3.11

$1 - 2 x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 2 (1 + 2 x) + 2 \cdot (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.1.1.3.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x) \cdot 1$

단계 2.3.1.1.3.13

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x)$

단계 2.3.1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 (1 - 2 x)$

단계 2.3.1.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

단계 2.3.1.1.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.4.3.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

단계 2.3.1.1.4.3.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

단계 2.3.1.1.4.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 - 4 x + 2 + 2 (- 2 x)$

단계 2.3.1.1.4.3.4

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 - 4 x + 2 - 4 x$

단계 2.3.1.1.4.3.5

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 4 x + 0 - 4 x$

단계 2.3.1.1.4.3.6

$- 4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 4 x - 4 x$

단계 2.3.1.1.4.3.7

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$- 8 x$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{8}) d u$

단계 2.3.2.2

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 8} d u$

단계 2.3.2.3

$u$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{8}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.2.2

지수를 더하여 $u$ 에 $u^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.1

$u$ 에 $u^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.1.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.2.2.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.3.1

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 2.3.5.3.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.5.3.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 2.3.5.3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 을 $- \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3

$- 2$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.3.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.3.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.8

$u$ 를 모두 $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + K$