미적분 예제

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \cos (t) + \frac{\sin (t)}{t}$

단계 1

$\frac{d s}{d t} + M (t) s = Q (t)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

단계 1.2

$\frac{s}{t}$ 에서 $s$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d s}{d t} + s \frac{1}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

단계 1.3

$s$ 와 $\frac{1}{t}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d s}{d t} + \frac{1}{t} s = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (t) d t}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (t) = \frac{1}{t}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

단계 2.2

$\frac{1}{t}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| t |)$ 입니다.

$e^{\ln (| t |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (t)}$

단계 2.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$t$

단계 3

각 항에 적분 인수 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $t$ 을 곱합니다.

$t \frac{d s}{d t} + t (\frac{1}{t} s) = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{t}$ 와 $s$ 을 묶습니다.

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

단계 3.2.2

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

단계 3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

단계 3.3

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

공약수로 약분합니다.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

단계 3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$t \frac{d s}{d t} + s = \sin (t) + t \cos (t)$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [t s] = \sin (t) + t \cos (t)$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d t} [t s] d t = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$t s = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$t s = \int \sin (t) d t + \int t \cos (t) d t$

단계 7.2

$\sin (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $- \cos (t)$ 입니다.

$t s = - \cos (t) + C + \int t \cos (t) d t$

단계 7.3

$u = t$ 이고 $d v = \cos (t)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - \int \sin (t) d t$

단계 7.4

$\sin (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $- \cos (t)$ 입니다.

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - (- \cos (t) + C)$

단계 7.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

간단히 합니다.

$t s = - \cos (t) + t \sin (t) + \cos (t) + C$

단계 7.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.2.1

$- \cos (t)$ 를 $\cos (t)$ 에 더합니다.

$t s = t \sin (t) + 0 + C$

단계 7.5.2.2

$t \sin (t)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$t s = t \sin (t) + C$

단계 8

$t s = t \sin (t) + C$ 의 각 항을 $t$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$t s = t \sin (t) + C$ 의 각 항을 $t$ 로 나눕니다.

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

단계 8.2.1.2

$s$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

단계 8.3.1.2

$\sin (t)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$s = \sin (t) + \frac{C}{t}$