미적분 예제

$(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

단계 1.5

$0$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

단계 2

$N (x, y) = 4 x y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x y]$

단계 2.2

$4 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x y$ 의 미분은 $4 y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \cdot 1$

단계 2.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $4 y$ 을 대입합니다.

$2 y = 4 y$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 y = 4 y$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $4 y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 y - (4 y)}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $4 x y$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$N$ 에 $4 x y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 y - (4 y)}{4 x y}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$2 y - 1 \cdot 4 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \cdot 2 - 1 \cdot 4 y}{4 x y}$

단계 4.3.2.1.2

$- 1 \cdot 4 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)}{4 x y}$

단계 4.3.2.1.3

$y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (2 - 1 \cdot 4)}{4 x y}$

단계 4.3.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{y (2 - 4)}{4 x y}$

단계 4.3.2.3

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

단계 4.3.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

단계 4.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2}{4 x}$

단계 4.3.4

$- 2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 1)}{4 x}$

단계 4.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1

$4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 x)}$

단계 4.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x)}$

단계 4.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{2 x}$

단계 4.3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2 x}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

단계 5.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 5.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

단계 5.4

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |)} + C$

단계 5.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$- \frac{1}{2} \ln (| x |)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1.1

$\ln (| x |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| x |))} + C$

단계 5.5.1.2

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} + C$

단계 5.5.2

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

단계 5.5.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

단계 5.5.4

${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

단계 5.5.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

단계 5.5.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{1}{2}} + C$

단계 5.5.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 6

$(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x^{2} + y^{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

단계 6.2

$x^{2} + y^{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

단계 6.3

$4 x y$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

단계 6.4

$4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$4$ 와 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + x y \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

단계 6.4.2

$x$ 와 $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y \frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

단계 6.4.3

$y$ 와 $\frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{y (x \cdot 4)}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

단계 6.5

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x \cdot 4) x^{- \frac{1}{2}} d y = 0$

단계 6.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x \cdot 4) d y = 0$

단계 6.6.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot 4) d y = 0$

단계 6.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 4) d y = 0$

단계 6.6.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

단계 6.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

단계 6.6.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4) d y = 0$

단계 6.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 y x^{\frac{1}{2}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 4 y x^{\frac{1}{2}} d y$

단계 8

$N (x, y) = 4 y x^{\frac{1}{2}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$4 x^{\frac{1}{2}}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $4 x^{\frac{1}{2}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \int y d y$

단계 8.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 8.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 을 $4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x^{\frac{1}{2}} \frac{4}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{4}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2.4

$4$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2.5

$4 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.6.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} y^{2} + C$

단계 8.3.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

단계 8.3.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} y^{2} + C$

단계 8.3.2.6.4

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$2 y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ 의 미분은 $2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 y^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.9

$2$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$y^{2} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.10

$y^{2}$ 와 $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.11

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot y^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.13

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.14

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.1

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 12.1.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 12.1.1.1.3

$y^{2} - x^{2} - y^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.1.3.1

$y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 12.1.1.1.3.2

$- x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 12.1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.2.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{1}{2}} = 0$

단계 12.1.1.2.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.1.1.2.2.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{1}{2}} x^{2}) = 0$

단계 12.1.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

단계 12.1.1.2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

단계 12.1.1.2.2.4

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

단계 12.1.1.2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

단계 12.1.1.2.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.1.1.2.2.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

단계 12.1.1.2.2.6.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{3}{2}} = 0$

단계 12.1.2

방정식의 양변에 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$

단계 13

$x^{\frac{3}{2}}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

단계 13.3

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

단계 14

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

단계 15

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 15.1

$\frac{2}{5}$ 와 $x^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

단계 15.2

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = 2 y^{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$