미적분 예제

$3 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수를 다시 묶습니다.

$3 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

단계 1.2

양변에 $\frac{y}{e^{y}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

조합합니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

단계 1.3.2

조합합니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

단계 1.3.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

단계 1.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

단계 1.3.4

$e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

단계 1.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

단계 1.3.5

$\sin^{2} (θ)$ 에서 $\sin (θ)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

단계 1.3.6

분수를 나눕니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

단계 1.3.7

$\sec (θ)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

단계 1.3.8

$\frac{1}{\cos (θ)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

단계 1.3.9

$\sin (θ)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

단계 1.3.10

$\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.10.1

$\sin (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

단계 1.3.10.2

$\sin (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

단계 1.3.10.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

단계 1.3.10.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

단계 1.4

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 3 \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 3 d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y}{e^{y}} \cdot 3 d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$\frac{y}{e^{y}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\int \frac{y \cdot 3}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.1.2

$y$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\int \frac{3 y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.2

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$e^{y}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$3 \int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.3.2

${(e^{y})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 \int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.3.2.2

$y$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$3 \int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.3.2.3

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.4

$u = y$ 이고 $d v = e^{- y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$3 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.6.2

$\int e^{- y} d y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.7

먼저 $u_{1} = - y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = - d y$ 이므로 $- d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

$u_{1} = - y$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1.1

$- y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.2.7.1.2

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 2.2.7.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 2.2.7.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.8

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.9

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$3 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.10

$3 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}))$ 을 $3 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.2.11

$u_{1}$ 를 모두 $- y$ 로 바꿉니다.

$3 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u_{2} = \sin (θ)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ 이므로 $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u_{2} = \sin (θ)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d θ}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$\sin (θ)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

단계 2.3.1.1.2

$\sin (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\cos (θ)$ 입니다.

$\cos (θ)$

단계 2.3.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 가 됩니다.

$3 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (θ)$ 로 바꿉니다.

$3 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$3 (- y e^{- y} - e^{- y}) = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$