미적분 예제

$x d y = (3 - 2 y) d x$

단계 1

양변에 $\frac{1}{x (3 - 2 y)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (3 - 2 y)} x d y = \frac{1}{x (3 - 2 y)} (3 - 2 y) d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x (3 - 2 y)} x d y = \frac{1}{x (3 - 2 y)} (3 - 2 y) d x$

단계 2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 - 2 y} d y = \frac{1}{x (3 - 2 y)} (3 - 2 y) d x$

단계 2.2

$3 - 2 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x (3 - 2 y)$ 에서 $3 - 2 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3 - 2 y} d y = \frac{1}{(3 - 2 y) x} (3 - 2 y) d x$

단계 2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3 - 2 y} d y = \frac{1}{(3 - 2 y) x} (3 - 2 y) d x$

단계 2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 - 2 y} d y = \frac{1}{x} d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{3 - 2 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

먼저 $u = 3 - 2 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d y$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$u = 3 - 2 y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$3 - 2 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [3 - 2 y]$

단계 3.2.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 - 2 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

단계 3.2.1.1.2.2

$3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

단계 3.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.3.1

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 y$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2 \cdot 1$

단계 3.2.1.1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 2$

단계 3.2.1.1.4

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 2$

단계 3.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.2.2

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.2.3

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.6

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.7

$u$ 를 모두 $3 - 2 y$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) = \ln (| x |) + C$

단계 4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 양변에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 4.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$\ln (| 3 - 2 y |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 y |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 4.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| 3 - 2 y |)}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 4.2.1.1.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 4.2.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 4.2.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- - \ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 4.2.1.1.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 4.2.1.1.3.2

$\ln (| 3 - 2 y |)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 4.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 3 - 2 y |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

단계 4.3

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| 3 - 2 y |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

단계 4.4

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$\ln (| 3 - 2 y |) + 2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| 3 - 2 y |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

단계 4.4.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (| 3 - 2 y |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

단계 4.4.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| 3 - 2 y | x^{2}) = - 2 C$

단계 4.4.1.3

$\ln (| 3 - 2 y | x^{2})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\ln (x^{2} | 3 - 2 y |) = - 2 C$

단계 4.5

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 y |)} = e^{- 2 C}$

단계 4.6

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x^{2} | 3 - 2 y |) = - 2 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 y |$

단계 4.7

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$x^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$

단계 4.7.2

$x^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.2.1

$x^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 y |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

단계 4.7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.2.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 y |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

단계 4.7.2.2.1.2

$| 3 - 2 y |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| 3 - 2 y | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

단계 4.7.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$3 - 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

단계 4.7.4

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

단계 4.7.5

$- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.5.1

$- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

단계 4.7.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.5.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

단계 4.7.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

단계 4.7.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.5.3.1.1

$\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

단계 4.7.5.3.1.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

단계 5

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

단계 5.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$