미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cos^{2} (y)$ , $y (0) = \frac{π}{4}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos (x) \cos^{2} (y))$

단계 1.2

$\cos^{2} (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

$\cos (x) \cos^{2} (y)$ 에서 $\cos^{2} (y)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \cos (x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \cos (x) d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 을 $\sec^{2} (y)$ 로 변환합니다.

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \cos (x) d x$

단계 2.2.2

$\tan (y)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (y)$ 이므로, $\sec^{2} (y)$ 의 적분값은 $\tan (y)$ 이 됩니다.

$\tan (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

단계 2.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$\tan (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$\sin (x) + K = \tan (y)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\sin (x) + K = \tan (y)$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$\sin (x) = \tan (y) - K$

단계 3.3

사인 안의 $y$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (\tan (y) - K)$

단계 3.4

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

단계 3.5

역사인 안의 $\tan (y)$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 역사인의 역을 취합니다.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

단계 3.6

방정식의 양변에 $K$ 를 더합니다.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

단계 3.7

탄젠트 안의 $y$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

단계 3.8

$y$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

단계 3.9

역사인 안의 $\tan (y)$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 역사인의 역을 취합니다.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

단계 3.10

방정식의 양변에 $K$ 를 더합니다.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

단계 3.11

탄젠트 안의 $y$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

단계 4

초기 조건을 활용하여 $y = \arctan (\sin (x) + K)$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $\frac{π}{4}$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$

단계 5

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$

단계 5.2

사인 안의 $K$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$\sin (0) + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

단계 5.3

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$\sin (0) + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$0 + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

단계 5.3.1.2

$0$ 를 $K$ 에 더합니다.

$K = \arcsin (\frac{π}{4})$

단계 5.4

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$\arcsin (\frac{π}{4})$ 의 값을 구합니다.

$K = 0.90333911$

단계 5.5

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

단계 5.6

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.6.1

괄호를 제거합니다.

$K = 3.14159265 - 0.90333911$

단계 5.6.2

괄호를 제거합니다.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

단계 5.6.3

$3.14159265$ 에서 $0.90333911$ 을 뺍니다.

$K = 2.23825354$

단계 5.7

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$해 없음$