미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{5 y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{5 y}$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$5 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 5}$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 5}$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{5}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y d y = \frac{3 x^{2}}{5} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int \frac{3 x^{2}}{5} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{5} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{3}{5}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5} \int x^{2} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{3}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 을 $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$\frac{3}{5}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{15} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.3

$3$ 및 $15$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.3.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 (1)}{15} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.3.2.1

$15$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{5} x^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{5} x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{5} x^{3} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{5} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{5} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{5} x^{3} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{5} x^{3} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{5} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{5} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 와 $\frac{x^{3}}{5}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{5} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{5} + 2 K}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{5} + 2 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{2 x^{3}}{5} + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$\frac{2 x^{3}}{5}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{5} + 2 K}$

단계 3.4.1.2

$2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{5} + 2 K}$

단계 3.4.1.3

$2 \frac{x^{3}}{5} + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{5} + K)}$

단계 3.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{5} + K \cdot \frac{5}{5})}$

단계 3.4.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$K$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{5} + \frac{K \cdot 5}{5})}$

단계 3.4.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 5}{5}}$

단계 3.4.4

$K$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 5 K}{5}}$

단계 3.4.5

$2$ 와 $\frac{x^{3} + 5 K}{5}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 5 K)}{5}}$

단계 3.4.6

$\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 5 K)}{5}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)}}{\sqrt{5}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)}}{\sqrt{5}}$

단계 3.4.7

$\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)}}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

단계 3.4.8

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.8.1

$\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)}}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

단계 3.4.8.2

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

단계 3.4.8.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

단계 3.4.8.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

단계 3.4.8.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

단계 3.4.8.6

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4.8.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.8.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.8.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.8.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{5^{1}}$

단계 3.4.8.6.5

지수값을 계산합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{5}$

단계 3.4.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.9.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K) \cdot 5}}{5}$

단계 3.4.9.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{3} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{3} + K)}}{5}$