미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - y = 1$ , $y = e^{x} - 1$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$y' - y = 1$

단계 2

$y'$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} - 1)$

단계 2.2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 2.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $e^{x} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$e^{x} + 0$

단계 2.3.3.2

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x}$

단계 2.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = e^{x}$

단계 3

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

$e^{x} - (e^{x} - 1) = 1$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{x} - e^{x} - - 1 = 1$

단계 4.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{x} - e^{x} + 1 = 1$

단계 4.2

$e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 을 뺍니다.

$0 + 1 = 1$

단계 4.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1 = 1$

단계 5

주어진 해는 주어진 미분 방정식을 만족합니다.

$y = e^{x} - 1$ 이 $y' - y = 1$ 의 해입니다.