미적분 예제

$(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y^{2} + x y^{3}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + x y^{3}]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} + x y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [x y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y^{3}$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x (3 y^{2})$

단계 1.3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x y^{2}$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x + 2 y$

단계 2

$N (x, y) = 5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)]$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

단계 2.2.2

$5 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5 y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

단계 2.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

단계 2.4

$y^{3} \sin (y)$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{3} \sin (y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{3} \sin (y)$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + 0$

단계 2.5

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$0$ 에서 $y$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 0$

단계 2.5.2

$- y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3 y^{2} x + 2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- y$ 을 대입합니다.

$3 y^{2} x + 2 y = - y$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$3 y^{2} x + 2 y = - y$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- y$ 를 대입합니다.

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3 y^{2} x + 2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $y^{2} + x y^{3}$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$M$ 에 $y^{2} + x y^{3}$ 를 대입합니다.

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- y - (3 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

단계 4.3.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

단계 4.3.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + x y^{3}}$

단계 4.3.2.4

$- y$ 에서 $2 y$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

단계 4.3.2.5

$- 3 y^{2} x - 3 y$ 에서 $3 y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.5.1

$- 3 y^{2} x$ 에서 $3 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 y (- y x) - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

단계 4.3.2.5.2

$- 3 y$ 에서 $3 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 y (- y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

단계 4.3.2.5.3

$3 y (- y x) + 3 y (- 1)$ 에서 $3 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

단계 4.3.3

$y^{2} + x y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}$

단계 4.3.3.2

$x y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}$

단계 4.3.3.3

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} (1 + x y)}$

단계 4.3.4

$y$ 및 $y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$3 y (- y x - 1)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y^{2} (1 + x y)}$

단계 4.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1

$y^{2} (1 + x y)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

단계 4.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

단계 4.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (- y x - 1)}{y (1 + x y)}$

단계 4.3.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 (- x y - 1)}{y (x y + 1)}$

단계 4.3.6

$- x y - 1$ 및 $x y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1

$- x y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x y) - 1)}{y (x y + 1)}$

단계 4.3.6.2

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- (x y) - 1 (1))}{y (x y + 1)}$

단계 4.3.6.3

$- (x y) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

단계 4.3.6.4

$- (x y + 1)$ 을 $- 1 (x y + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

단계 4.3.6.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

단계 4.3.6.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

단계 4.3.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3}{y}$

단계 4.3.8

$M$ 에 $y^{2} + x y^{3}$ 를 대입합니다.

$- \frac{3}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

단계 5.2

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

단계 5.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

단계 5.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$- 3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

단계 5.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

단계 6

$(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y^{3}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$y^{2} + x y^{3}$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$(y^{2} + x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

단계 6.2

$y^{2} + x y^{3}$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

단계 6.3

$y^{2} + x y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

단계 6.3.2

$x y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

단계 6.3.3

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

단계 6.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

단계 6.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

단계 6.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

단계 6.5

$5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1.1

$5 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7.1.2

$y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 \frac{1}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7.2

$5$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.3.1

$- x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7.3.2

$y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x \frac{1}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7.4

$\frac{1}{y^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7.5

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.5.1

$y^{3} \sin (y)$ 에서 $y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} (\sin (y)) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

단계 6.7.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)) d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

단계 8

$M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

단계 8.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

단계 8.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

단계 8.3.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

단계 8.4

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

단계 8.5

$\frac{1}{y}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

단계 8.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 8.7

간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{x}{y}$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 입니다.

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 11.3.2

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 11.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 11.4

$\frac{1}{2} x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\frac{1}{2} x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 입니다.

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 11.5

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 11.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 11.6.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.6.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 11.6.2.2

$- \frac{x}{y^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 11.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{5}{y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} = - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

단계 12.1.1.2

방정식의 양변에 $\frac{x}{y^{2}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} = \sin (y)$

단계 12.1.1.3

방정식의 양변에서 $\sin (y)$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y) = 0$

단계 12.1.1.4

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.1.4.1

$- \frac{x}{y^{2}}$ 를 $\frac{x}{y^{2}}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} + 0 - \sin (y) = 0$

단계 12.1.1.4.2

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} - \sin (y) = 0$

단계 12.1.2

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.1

방정식의 양변에 $\frac{5}{y}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d y} - \sin (y) = \frac{5}{y}$

단계 12.1.2.2

방정식의 양변에 $\sin (y)$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$

단계 13

$\frac{5}{y} + \sin (y)$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

단계 13.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (y) = \int \frac{5}{y} d y + \int \sin (y) d y$

단계 13.4

$5$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = 5 \int \frac{1}{y} d y + \int \sin (y) d y$

단계 13.5

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) + \int \sin (y) d y$

단계 13.6

$\sin (y)$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- \cos (y)$ 입니다.

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) - \cos (y) + C$

단계 13.7

간단히 합니다.

$g (y) = 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

단계 15

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

단계 15.2

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{5}) - \cos (y) + C$