미적분 예제

$y (x - 1) d y - x (y - 1) d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $x (y - 1) d x$ 를 더합니다.

$y (x - 1) d y = x (y - 1) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$y (x - 1)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y - 1} y d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y - 1}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

단계 3.3

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$(x - 1) (y - 1)$ 에서 $y - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(y - 1) (x - 1)} (x (y - 1)) d x$

단계 3.3.2

$x (y - 1)$ 에서 $y - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

단계 3.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

단계 3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{x - 1} x d x$

단계 3.4

$\frac{1}{x - 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{x}{x - 1} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$y$ 을 $y - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$1$

$y$

$0$

단계 4.2.1.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$y$	-	$1$		$y$	+	$0$

단계 4.2.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	-	$1$

단계 4.2.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$

단계 4.2.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$
					+	$1$

단계 4.2.1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

단계 4.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

단계 4.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

단계 4.2.4

먼저 $u_{1} = y - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

$u_{1} = y - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1.1

$y - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

단계 4.2.4.1.2

합의 법칙에 의해 $y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 4.2.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 4.2.4.1.4

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.2.4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2.4.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

단계 4.2.5

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$y + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

단계 4.2.6

간단히 합니다.

$y + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

단계 4.2.7

$u_{1}$ 를 모두 $y - 1$ 로 바꿉니다.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x$

$0$

단계 4.3.1.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

단계 4.3.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

단계 4.3.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

단계 4.3.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

단계 4.3.1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

단계 4.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

단계 4.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x - 1} d x$

단계 4.3.4

먼저 $u_{2} = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$u_{2} = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.3.4.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.3.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.3.4.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.3.4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.3.4.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 4.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| u_{2} |) + C_{5}$

단계 4.3.6

간단히 합니다.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

단계 4.3.7

$u_{2}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + \ln (| x - 1 |) + C_{6}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y + \ln (| y - 1 |) = x + \ln (| x - 1 |) + C$