미적분 예제

$(1 + y e^{x y}) d x + (2 y + x e^{x y}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y e^{x y}]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + y e^{x y}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

단계 1.2.2

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$f (y) = y$ , $g (y) = e^{x y}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.3

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

단계 1.3.6

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1$

단계 1.3.7

$e^{x y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$0$ 를 $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y}$

단계 1.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} x y + e^{x y}$

단계 1.4.3

$e^{x y} x y + e^{x y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

단계 2

$N (x, y) = 2 y + x e^{x y}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + x e^{x y}]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $2 y + x e^{x y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

단계 2.2.2

$2 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x y}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.3

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

단계 2.3.6

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1$

단계 2.3.7

$e^{x y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$0$ 를 $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y}$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} x y + e^{x y}$

단계 2.4.3

$e^{x y} x y + e^{x y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y e^{x y} + e^{x y}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x y e^{x y} + e^{x y}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $x y e^{x y} + e^{x y}$ 을 대입합니다.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 1 + y e^{x y} d x$

단계 5

$M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int d x + \int y e^{x y} d x$

단계 5.2

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = x + C + \int y e^{x y} d x$

단계 5.3

$y$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $y$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = x + C + y \int e^{x y} d x$

단계 5.4

먼저 $u = x y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = y d x$ 이므로 $\frac{1}{y} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.4.1

$u = x y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.4.1.1

$x y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x y]$

단계 5.4.1.2

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \cdot 1$

단계 5.4.1.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y$

단계 5.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = x + C + y \int e^{u} \frac{1}{y} d u$

단계 5.5

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x + C + y \int \frac{e^{u}}{y} d u$

단계 5.6

$\frac{1}{y}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{y}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = x + C + y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u)$

단계 5.7

간단히 합니다.

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단계 5.7.1

$\frac{1}{y}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

단계 5.7.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.7.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

단계 5.7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = x + C + 1 \int e^{u} d u$

단계 5.7.3

$\int e^{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = x + C + \int e^{u} d u$

단계 5.8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$f (x, y) = x + C + e^{u} + C$

단계 5.9

간단히 합니다.

$f (x, y) = x + e^{u} + C$

단계 5.10

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$f (x, y) = x + e^{x y} + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y + x e^{x y}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [x + e^{x y} + g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

단계 8.2

미분합니다.

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단계 8.2.1

합의 법칙에 의해 $x + e^{x y} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

단계 8.2.2

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [e^{x y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

단계 8.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + e^{u} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

단계 8.3.1.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$0 + e^{x y} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

단계 8.3.2

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$0 + e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

단계 8.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + e^{x y} (x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

단계 8.3.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + e^{x y} x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

단계 8.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

단계 8.5

간단히 합니다.

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단계 8.5.1

$0$ 를 $e^{x y} x$ 에 더합니다.

$e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

단계 8.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x = 2 y + x e^{x y}$

단계 8.5.3

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x e^{x y} = 2 y + x e^{x y}$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $x e^{x y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$

단계 9.1.2

$2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$x e^{x y}$ 에서 $x e^{x y}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

단계 9.1.2.2

$2 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

단계 10

$2 y$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = 2 y$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 2 y d y$

단계 10.3

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = 2 \int y d y$

단계 10.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 10.5

답을 간단히 합니다.

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단계 10.5.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 을 $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

단계 10.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

단계 10.5.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

단계 10.5.2.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (y) = y^{2} + C$

단계 11

$f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = x + e^{x y} + y^{2} + C$