미적분 예제

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y^{2} - x y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x y]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} - x y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x y]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [- x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \cdot 1$

단계 1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 2 y$

단계 2

$N (x, y) = x^{2} - x y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - x y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

단계 2.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- x + 2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x - y$ 을 대입합니다.

$- x + 2 y = 2 x - y$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- x + 2 y = 2 x - y$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- x + 2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{- x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x - y$ 를 대입합니다.

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $x^{2} - x y$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 $x^{2} - x y$ 를 대입합니다.

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x + 2 y - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

단계 4.3.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x + 2 y - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

단계 4.3.2.3

$- - y$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x + 2 y - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

단계 4.3.2.3.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x + 2 y - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

단계 4.3.2.4

$- x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3 x + 2 y + y}{x^{2} - x y}$

단계 4.3.2.5

$2 y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 x + 3 y}{x^{2} - x y}$

단계 4.3.2.6

$- 3 x + 3 y$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.2.6.1

$- 3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x) + 3 y}{x^{2} - x y}$

단계 4.3.2.6.2

$3 y$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x) + 3 (y)}{x^{2} - x y}$

단계 4.3.2.6.3

$3 (- x) + 3 (y)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x + y)}{x^{2} - x y}$

단계 4.3.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.3.3.1

$x^{2} - x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.3.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x - x y}$

단계 4.3.3.1.2

$- x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

단계 4.3.3.1.3

$x \cdot x + x (- 1 y)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - 1 y)}$

단계 4.3.3.2

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - y)}$

단계 4.3.4

$- x + y$ 및 $x - y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x) + y)}{x (x - y)}$

단계 4.3.4.2

$y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x) - 1 (- y))}{x (x - y)}$

단계 4.3.4.3

$- (x) - 1 (- y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x - y))}{x (x - y)}$

단계 4.3.4.4

$- (x - y)$ 을 $- 1 (x - y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

단계 4.3.4.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

단계 4.3.4.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

단계 4.3.5

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3}{x}$

단계 4.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{x}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

단계 5.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 5.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 5.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

단계 5.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

단계 6

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{x^{3}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$y^{2} - x y$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$(y^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

단계 6.2

$y^{2} - x y$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

단계 6.3

$y^{2} - x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.3.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \cdot y - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

단계 6.3.2

$- x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \cdot y + y (- x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

단계 6.3.3

$y \cdot y + y (- x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

단계 6.4

$x^{2} - x y$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

단계 6.5

$x^{2} - x y$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x^{2} - x y}{x^{3}} d y = 0$

단계 6.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.6.1

$x^{2} - x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.6.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x^{3}} d y = 0$

단계 6.6.1.2

$- x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

단계 6.6.1.3

$x \cdot x + x (- 1 y)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

단계 6.6.2

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x^{3}} d y = 0$

단계 6.7

공약수로 약분합니다.

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단계 6.7.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

단계 6.7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

단계 6.7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x - y}{x^{2}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{x - y}{x^{2}} d y$

단계 8

$N (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{x^{2}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int x - y d y$

단계 8.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int x d y + \int - y d y)$

단계 8.3

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C + \int - y d y)$

단계 8.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - \int y d y)$

단계 8.5

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

단계 8.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.2

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.2.1

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.2.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $g (x) = x y - \frac{y^{2}}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x y - \frac{y^{2}}{2}] + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.2

합의 법칙에 의해 $x y - \frac{y^{2}}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.3

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2}} (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.5

$- \frac{y^{2}}{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- \frac{y^{2}}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \frac{y^{2}}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.6

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.7

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.7.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.7.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.9

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (y + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.10

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2}} y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.11

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.12

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 11.3.12.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.12.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.13

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.14

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.16

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.17

공통 분모를 가지는 분수로 $(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3})$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.19

지수를 더하여 $x^{- 3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.19.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{2} x^{- 3}))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.19.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{2 - 3})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.3.19.3

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y + x y (- 2 \frac{1}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y + x y \frac{- 2}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{y + x y (- \frac{2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.3

$x$ 와 $\frac{2}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y + y (- \frac{x \cdot 2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.4

$y$ 와 $\frac{x \cdot 2}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y - \frac{y (x \cdot 2)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.5

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{y - \frac{y (2 \cdot x)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.6

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{y - \frac{2 \cdot y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.7

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y - \frac{2 y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.7.2

$2 y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{y - (2 y) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.9

$- 2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- \frac{2}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.11

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 2 y + 1 \frac{y^{2}}{2} \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.12

$\frac{y^{2}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.13

$\frac{y^{2}}{2}$ 에 $\frac{2}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.14

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{y - 2 y + \frac{2 \cdot y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.15

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.15.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y - 2 y + \frac{2 y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.15.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.16

$y$ 에서 $2 y$ 을 뺍니다.

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.17

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.18

조합합니다.

$\frac{x (- y + \frac{y^{2}}{x})}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.19

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.20

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.20.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.20.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.21

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.21.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.21.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.21.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.21.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.22

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{d g}{d x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.3.23

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x (- y) + y^{2} + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 11.5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

방정식의 각 변에 있는 식이 같은 분모를 가지므로 분자가 같아야 합니다.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

단계 12.1.2

$y (y - x)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.1

다시 씁니다.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = 0 + 0 + y (y - x)$

단계 12.1.2.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

단계 12.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y \cdot y + y (- x)$

단계 12.1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.4.1

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} + y (- x)$

단계 12.1.2.4.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x$

단계 12.1.3

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$- x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2}$

단계 12.1.3.2

방정식의 양변에 $x y$ 를 더합니다.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2} + x y$

단계 12.1.3.3

$y^{2} - y x - y^{2} + x y$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.3.1

$y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + 0 + x y$

단계 12.1.3.3.2

$- y x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + x y$

단계 12.1.3.3.3

인수가 항 $- y x$ 과(와) $x y$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - x y + x y$

단계 12.1.3.3.4

$- x y$ 를 $x y$ 에 더합니다.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$

단계 12.1.4

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ 의 각 항을 $x^{3}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.4.1

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ 의 각 항을 $x^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

단계 12.1.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.4.2.1

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

단계 12.1.4.2.1.2

$\frac{d g}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{3}}$

단계 12.1.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.4.3.1

$0$ 을 $x^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d x} = 0$

단계 13

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 0 d x$

단계 13.3

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (x) = 0 + C$

단계 13.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (x) = C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

단계 15

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + C$

단계 15.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $x y - \frac{y^{2}}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x y - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

단계 15.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$x y - \frac{y^{2}}{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y x - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

단계 15.3.1.2

$- \frac{y^{2}}{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y x + y (- \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

단계 15.3.1.3

$y x + y (- \frac{y}{2})$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y (x - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

단계 15.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

단계 15.3.3

$x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

단계 15.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x \cdot 2 - y}{2}}{x^{2}} + C$

단계 15.3.5

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{y \frac{2 x - y}{2}}{x^{2}} + C$

단계 15.4

$y$ 와 $\frac{2 x - y}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{\frac{y (2 x - y)}{2}}{x^{2}} + C$

단계 15.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

단계 15.6

조합합니다.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y) \cdot 1}{2 x^{2}} + C$

단계 15.7

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2 x^{2}} + C$