미적분 예제

$e^{x} d x - y d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $e^{x} d x$ 를 뺍니다.

$- y d y = - e^{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int - y d y = \int - e^{x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int y d y = \int - e^{x} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

단계 2.2.3

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 을 $- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

단계 2.3.2

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2} y^{2} = - e^{x} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{1}{2} y^{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

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단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$- 2 (- \frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (- \frac{y^{2}}{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

$- \frac{y^{2}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

단계 3.2.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

단계 3.2.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- - y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

단계 3.2.1.1.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

단계 3.2.1.1.3.2

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$- 2 (- e^{x} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = - 2 (- e^{x}) - 2 K$

단계 3.2.2.1.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 2 e^{x} - 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{2 e^{x} - 2 K}$

단계 3.4

$2 e^{x} - 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2 e^{x}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) - 2 K}$

단계 3.4.2

$- 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) + 2 (- K)}$

단계 3.4.3

$2 (e^{x}) + 2 (- K)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} + K)}$