미적분 예제

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2} + x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

단계 1.3

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

단계 1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

단계 1.5

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

단계 1.6

항을 묶습니다.

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단계 1.6.1

$0$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

단계 1.6.2

$2 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

단계 2

$N (x, y) = y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$2 y = 0$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 y = 0$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{2 y + 0}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $y$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 y + 0}{y}$

단계 4.3.2

$2 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 y}{y}$

단계 4.3.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{y}$

단계 4.3.3.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

단계 5

적분 $e^{\int 2 d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

단계 5.2

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

단계 6

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{2 x}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$x^{2} + y^{2} + x$ 에 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + y^{2} + x) e^{2 x} d x + y d y = 0$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y d y = 0$

단계 6.3

$y$ 에 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y e^{2 x} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y e^{2 x} d y$

단계 8

$N (x, y) = y e^{2 x}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$e^{2 x}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $e^{2 x}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y$

단계 8.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 8.3

답을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 을 $e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2

간단히 합니다.

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단계 8.3.2.1

$e^{2 x}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

단계 8.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.3

$\frac{y^{2}}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.4.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.5

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.7

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.8

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.9

$2$ 와 $\frac{y^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.10

$\frac{2 y^{2}}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.11

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.11.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.3.11.2

$y^{2} e^{2 x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.5

간단히 합니다.

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단계 11.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 11.5.2

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $y^{2} e^{2 x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

단계 12.1.2

$x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.2.1

$y^{2} e^{2 x}$ 에서 $y^{2} e^{2 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} + 0$

단계 12.1.2.2

$x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

단계 13

$x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

단계 13.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.4

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (x) = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.5

간단히 합니다.

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단계 13.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$g (x) = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.5.2

$x^{2}$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.6

$\frac{1}{2} \cdot 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.7

간단히 합니다.

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단계 13.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.7.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.7.2.1

공약수로 약분합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.7.3

$\int e^{2 x} (x) d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.8

$u = x$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.9

간단히 합니다.

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단계 13.9.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.9.2

$x$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.9.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.10

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.11

괄호를 제거합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.12

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.12.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 13.12.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 13.12.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 13.12.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 13.12.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 13.12.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.13

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.14

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.15.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.15.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.16

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int x e^{2 x} d x$

단계 13.17

$u = x$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

단계 13.18

간단히 합니다.

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단계 13.18.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

단계 13.18.2

$x$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

단계 13.19

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

단계 13.20

괄호를 제거합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

단계 13.21

먼저 $u_{2} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.21.1

$u_{2} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.21.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 13.21.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 13.21.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 13.21.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 13.21.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 13.22

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

단계 13.23

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 13.24

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.24.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 13.24.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 13.25

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

단계 13.26

간단히 합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

단계 13.27

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.27.1

$- \frac{x e^{2 x}}{2}$ 를 $\frac{x e^{2 x}}{2}$ 에 더합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

단계 13.27.2

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

단계 13.27.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot \frac{4}{4} + C$

단계 13.27.4

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

단계 13.27.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

단계 13.27.6

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{e^{u_{2}}}{4} \cdot 4}{4} + C$

단계 13.27.7

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - 4 \frac{e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

단계 13.27.8

$- 4$ 와 $\frac{e^{u_{2}}}{4}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- 4 e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

단계 13.27.9

$- 4$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.27.9.1

$- 4 e^{u_{2}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4}}{4} + C$

단계 13.27.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.27.9.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 (1)}}{4} + C$

단계 13.27.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 \cdot 1}}{4} + C$

단계 13.27.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- e^{u_{2}}}{1}}{4} + C$

단계 13.27.9.2.4

$- e^{u_{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - e^{u_{2}}}{4} + C$

단계 13.27.10

$e^{u_{1}}$ 에서 $e^{u_{2}}$ 을 뺍니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{4} + C$

단계 13.27.11

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.27.11.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 (0)}{4} + C$

단계 13.27.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.27.11.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

단계 13.27.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

단계 13.27.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{1} + C$

단계 13.27.11.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + C$

단계 13.27.12

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

단계 13.28

항을 다시 정렬합니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

단계 15

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

단계 15.1.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

단계 15.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + C$

단계 15.1.4

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

단계 15.2

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$