미적분 예제

$y (2 x^{2} - x y + 1) d x + (x - y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y (2 x^{2} - x y + 1)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x^{2} - x y + 1)]$

단계 1.2

$f (y) = y$ , $g (y) = 2 x^{2} - x y + 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x^{2} - x y + 1] + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - x y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$2 x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2 x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2 x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [- x y]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.4

$- x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.7

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x + 0) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.8

$- x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + (2 x^{2} - x y + 1) \cdot 1$

단계 1.3.10

$2 x^{2} - x y + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + 2 x^{2} - x y + 1$

단계 1.4

$y (- x)$ 에서 $x y$ 을 뺍니다.

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단계 1.4.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - x y - x y + 1$

단계 1.4.2

$- x y$ 에서 $x y$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 2 x y + 1$

단계 2

$N (x, y) = x - y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 2.4

$- y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

단계 2.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x^{2} - 2 x y + 1$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$2 x^{2} - 2 x y + 1 = 1$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 x^{2} - 2 x y + 1 = 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x^{2} - 2 x y + 1$ 를 대입합니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - 1}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $x - y$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 $x - y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - 1}{x - y}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 0}{x - y}$

단계 4.3.2.2

$2 x^{2} - 2 x y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x y}{x - y}$

단계 4.3.2.3

$2 x^{2} - 2 x y$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.2.3.1

$2 x^{2}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x) - 2 x y}{x - y}$

단계 4.3.2.3.2

$- 2 x y$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x) + 2 x (- y)}{x - y}$

단계 4.3.2.3.3

$2 x (x) + 2 x (- y)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x - y)}{x - y}$

단계 4.3.3

$x - y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x (x - y)}{x - y}$

단계 4.3.3.2

$2 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int 2 x d x}$

단계 5

적분 $e^{\int 2 x d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{2 \int x d x}$

단계 5.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

단계 5.3

답을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ 을 $e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$

단계 5.3.2

간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

단계 5.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

단계 5.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = e^{1 x^{2}} + C$

단계 5.3.2.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{x^{2}} + C$

단계 6

$y (2 x^{2} - x y + 1) d x + (x - y) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{x^{2}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$y (2 x^{2} - x y + 1)$ 에 $e^{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$y (2 x^{2} - x y + 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(y (2 x^{2}) + y (- x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(2 y x^{2} + y (- x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

단계 6.3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(2 y x^{2} - y (x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

단계 6.3.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 y x^{2} - y (x y) + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

단계 6.4

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.1

$y$ 를 옮깁니다.

$(2 y x^{2} - (y \cdot y) x + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

단계 6.4.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$(2 y x^{2} - y^{2} x + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

단계 6.5

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x - y) d y = 0$

단계 6.6

$x - y$ 에 $e^{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x - y) e^{x^{2}} d y = 0$

단계 6.7

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}) d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} d y$

단계 8

$N (x, y) = x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d y + \int - y e^{x^{2}} d y$

단계 8.2

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C + \int - y e^{x^{2}} d y$

단계 8.3

$- e^{x^{2}}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- e^{x^{2}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C - e^{x^{2}} \int y d y$

단계 8.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C - e^{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 8.5

간단히 합니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - 1 \cdot \frac{1}{2} e^{x^{2}} y^{2} + C$

단계 8.6

간단히 합니다.

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단계 8.6.1

$- 1$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - 1 (\frac{1}{2}) e^{x^{2}} y^{2} + C$

단계 8.6.2

$- 1 (\frac{1}{2})$ 을 $- (\frac{1}{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2}) e^{x^{2}} y^{2} + C$

단계 8.6.3

$- 1$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} e^{x^{2}} y^{2} + C$

단계 8.6.4

$e^{x^{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}}}{2} y^{2} + C$

단계 8.6.5

$y^{2}$ 와 $\frac{e^{x^{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + C$

단계 8.7

간단히 합니다.

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단계 8.7.1

항을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}) + C$

단계 8.7.2

괄호를 제거합니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2} y^{2}) e^{x^{2}} + C$

단계 8.7.3

괄호를 제거합니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x e^{x^{2}} y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$y (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$y (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3.10

$e^{x^{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.3.11

$e^{x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.4.1

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.2

$e^{x^{2}}$ 와 $\frac{y^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.3

$- \frac{y^{2}}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2}$ 의 미분은 $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ 입니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.4.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - 2 \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.7

$- 2$ 와 $\frac{y^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{- 2 y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.8

$e^{x^{2}}$ 와 $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2})}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.9

$\frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2})}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2}) x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.10

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.4.10.1

$e^{x^{2}} (- 2 y^{2}) x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.10.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.4.10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- y^{2}) x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.4.10.2.4

$e^{x^{2}} (- y^{2}) x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.5

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.6

간단히 합니다.

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단계 11.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} y^{2} x = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 11.6.3

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} y^{2} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $2 x^{2} y e^{x^{2}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}}$

단계 12.1.2

방정식의 양변에서 $y e^{x^{2}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$

단계 12.1.3

방정식의 양변에 $y^{2} x e^{x^{2}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

단계 12.1.4

$2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.4.1

인수가 항 $2 y x^{2} e^{x^{2}}$ 과(와) $- 2 x^{2} y e^{x^{2}}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

단계 12.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x^{2} y$ 에서 $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} + 0 - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

단계 12.1.4.3

$- y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

단계 12.1.4.4

$y e^{x^{2}}$ 에서 $y e^{x^{2}}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + 0 + y^{2} x e^{x^{2}}$

단계 12.1.4.5

$- y^{2} x e^{x^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

단계 12.1.4.6

$- y^{2} x e^{x^{2}}$ 를 $y^{2} x e^{x^{2}}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 0$

단계 13

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 0 d x$

단계 13.3

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (x) = 0 + C$

단계 13.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (x) = C$

단계 14

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$

단계 15

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1.1

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{y^{2}}{2} e^{x^{2}} + C$

단계 15.1.2

$e^{x^{2}}$ 와 $\frac{y^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2} + C$

단계 15.2

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = x y e^{x^{2}} - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + C$