미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} + y = y^{- 2}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{y^{2}}$

단계 1.1.2

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$

단계 1.1.3

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

단계 1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

단계 1.1.3.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

단계 1.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- y}{x}$

단계 1.1.3.3.1.2

조합합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x} + \frac{- y}{x}$

단계 1.1.3.3.1.3

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} + \frac{- y}{x}$

단계 1.1.3.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y}{x}$

단계 1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{y}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

단계 1.2.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x y^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$\frac{y}{x}$ 에 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

단계 1.2.2.2

$x y^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

단계 1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

단계 1.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

단계 1.2.4.2

$y \cdot y^{2}$ 을 $y^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - (y^{1} y^{2})}{y^{2} x}$

단계 1.2.4.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{1 + 2}}{y^{2} x}$

단계 1.2.4.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{3}}{y^{2} x}$

단계 1.2.4.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = y$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1^{2} + 1 y + y^{2})}{y^{2} x}$

단계 1.2.4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.4.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + 1 y + y^{2})}{y^{2} x}$

단계 1.2.4.4.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2} x}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

단계 1.4

양변에 $\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} (\frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

조합합니다.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \cdot \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{y^{2} x}$

단계 1.5.2

조합합니다.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

단계 1.5.3

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

단계 1.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (x)}$

단계 1.5.4

$1 - y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) x}$

단계 1.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) (x)}$

단계 1.5.5

$1 + y + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) x}$

단계 1.5.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \frac{1}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 3 y^{2} d y$ 이므로 $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$(1 - y) (1 + y + y^{2})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [(1 - y) (1 + y + y^{2})]$

단계 2.2.1.1.2

$f (y) = 1 - y$ , $g (y) = 1 + y + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y + y^{2}] + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

단계 2.2.1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $1 + y + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

단계 2.2.1.1.3.2

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

단계 2.2.1.1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y]$ 에 더합니다.

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

단계 2.2.1.1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - y) (1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

단계 2.2.1.1.3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

단계 2.2.1.1.3.6

합의 법칙에 의해 $1 - y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ 가 됩니다.

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y])$

단계 2.2.1.1.3.7

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

단계 2.2.1.1.3.8

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [- y]$ 에 더합니다.

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.2.1.1.3.9

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.2.1.1.3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- 1 \cdot 1)$

단계 2.2.1.1.3.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.11.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \cdot - 1$

단계 2.2.1.1.3.11.2

$1 + y + y^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot (1 + y + y^{2})$

단계 2.2.1.1.3.11.3

$- 1 (1 + y + y^{2})$ 을 $- (1 + y + y^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$(1 - y) (1 + 2 y) - (1 + y + y^{2})$

단계 2.2.1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 - y) \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.4.5.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - y + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - y + 2 y - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 - y + 2 y - 2 y \cdot y - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.5

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.6

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y^{1}) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1 - y + 2 y - 2 y^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1 - y + 2 y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.9

$- y$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$1 + y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + y - 2 y^{2} - 1 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.11

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y - 2 y^{2} + 0 - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.12

$y - 2 y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y - 2 y^{2} - y - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.13

$y$ 에서 $y$ 을 뺍니다.

$- 2 y^{2} + 0 - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.14

$- 2 y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 y^{2} - y^{2}$

단계 2.2.1.1.4.5.15

$- 2 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$- 3 y^{2}$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.2.2

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.2.3

$u$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.7

$u$ 를 모두 $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) = \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ 를 전개합니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.1.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.1.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.1.5

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1.5.1

$y$ 를 옮깁니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - (y \cdot y) - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.1.5.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.1.6

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1.6.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.1.6.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1.6.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y^{1}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.1.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2 + 1} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.1.6.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.2.1

$1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.2.1.1

$y$ 에서 $y$ 을 뺍니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2.1.2

$1 + y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2.1.3

$y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2.1.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2.2

$\ln (| 1 - y^{3} |)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- 3 (- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.2.3.1

$- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 3 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2.3.2

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2.3.3

공약수로 약분합니다.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2.3.4

수식을 다시 씁니다.

$- - \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2.4

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.2.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2.4.2

$\ln (| 1 - y^{3} |)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

단계 3.3

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

단계 3.4

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

단계 3.4.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

단계 3.5

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

단계 3.6

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 3 C} = | 1 - y^{3} | {| x |}^{3}$

단계 3.7

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.7.1

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

단계 3.7.2

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ 의 각 항을 ${| x |}^{3}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ 의 각 항을 ${| x |}^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

단계 3.7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.7.2.2.1

${| x |}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

단계 3.7.2.2.1.2

$| 1 - y^{3} |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| 1 - y^{3} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

단계 3.7.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$1 - y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

단계 3.7.4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

단계 3.7.5

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.7.5.1

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.7.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.5.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.7.5.2.2

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.7.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.5.3.1.1

$\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.7.5.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ 을 $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.7.5.3.1.3

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1$

단계 3.7.6

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 1}$

단계 4.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = \sqrt[3]{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 1}$