미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = \cos (x)$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y \cot (x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = \cos (x)$

단계 1.2

$y$ 와 $\cot (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = \cos (x)$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \cot (x)$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \cot (x) d x}$

단계 2.2

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sin (x) |)$ 입니다.

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (\sin (x))}$

단계 2.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\sin (x)$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \cos (x)$

단계 3.2

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 3.2.1

$\sin (x)$ 와 $\cot (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

단계 3.2.2

$\sin (x) (\cot (x) y)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

단계 3.2.3

공약수로 약분합니다.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$

단계 3.3

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sin (x) \cos (x)$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sin (x) \cos (x)$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sin (x) \cos (x) d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\sin (x) y = \int \sin (x) \cos (x) d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

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단계 7.1

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 7.1.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 7.1.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 7.1.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 7.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\sin (x) y = \int u d u$

단계 7.2

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\sin (x) y = \frac{1}{2} u^{2} + C$

단계 7.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$

단계 8

$\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ 의 각 항을 $\sin (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ 의 각 항을 $\sin (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1.1

$\sin^{2} (x)$ 및 $\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.1.1.1

$\frac{1}{2} \sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

단계 8.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.1.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

단계 8.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

단계 8.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin (x)}{1} + \frac{C}{\sin (x)}$

단계 8.3.1.1.2.4

$\frac{1}{2} \sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

단계 8.3.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{\sin (x)}$

단계 8.3.1.3

분수를 나눕니다.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

단계 8.3.1.4

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \csc (x)$

단계 8.3.1.5

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + C \csc (x)$