미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

단계 1

모든 해는 $y = e^{r x}$ 형식인 것으로 가정합니다.

단계 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ 에 대한 특성 방정식을 구합니다.

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단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

단계 2.3

미분 방정식에 대입합니다.

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

단계 2.4

괄호를 제거합니다.

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

단계 2.5

$e^{r x}$ 로 인수분해합니다.

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단계 2.5.1

$r^{2} e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

단계 2.5.2

$- 2 r e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

단계 2.5.3

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

단계 2.5.4

$- 3 e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

단계 2.5.5

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

단계 2.6

지수는 절대 0이 될 수 없으므로 양쪽을 $e^{r x}$ 으로 나눕니다.

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

단계 3

$r$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

단계 3.2

$- 3$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

단계 3.3

AC 방법을 이용하여 $r^{2} - 2 r - 8$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 8$ 이고 합은 $- 2$ 입니다.

$- 4, 2$

단계 3.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

단계 3.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

단계 3.5

$r - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $r$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.5.1

$r - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$r - 4 = 0$

단계 3.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$r = 4$

단계 3.6

$r + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $r$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.6.1

$r + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$r + 2 = 0$

단계 3.6.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$r = - 2$

단계 3.7

$(r - 4) (r + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$r = 4, - 2$

단계 4

$r$ 의 구한 값 두 개를 사용하여 두 개의 해를 구성할 수 있습니다.

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

단계 5

중첩 원리에 의해 일반해는 2계 동차 선형 미분 방정식에 대한 두 해의 선형 결합입니다.

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$