미적분 예제

$\frac{d s}{d t} = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3}$ , $s (1) = 9$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d s = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d s = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$s + C_{1} = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$20$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $20$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$s + C_{1} = 20 \int t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

단계 2.3.2

먼저 $u = 5 t^{2} - 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 10 t d t$ 이므로 $\frac{1}{10} d u = t d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 5 t^{2} - 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$5 t^{2} - 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [5 t^{2} - 3]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $5 t^{2} - 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

단계 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.1

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $5 t^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

단계 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]$

단계 2.3.2.1.3.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

단계 2.3.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.4.1

$- 3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$10 t + 0$

단계 2.3.2.1.4.2

$10 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 t$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$s + C_{1} = 20 \int u^{3} \frac{1}{10} d u$

단계 2.3.3

$u^{3}$ 와 $\frac{1}{10}$ 을 묶습니다.

$s + C_{1} = 20 \int \frac{u^{3}}{10} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{10}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{10}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$s + C_{1} = 20 (\frac{1}{10} \int u^{3} d u)$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{10}$ 와 $20$ 을 묶습니다.

$s + C_{1} = \frac{20}{10} \int u^{3} d u$

단계 2.3.5.2

$20$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$20$ 에서 $10$ 를 인수분해합니다.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10} \int u^{3} d u$

단계 2.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.1

$10$ 에서 $10$ 를 인수분해합니다.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 (1)} \int u^{3} d u$

단계 2.3.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 \cdot 1} \int u^{3} d u$

단계 2.3.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

단계 2.3.5.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ 을 $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

단계 2.3.8

$u$ 를 모두 $5 t^{2} - 3$ 로 바꿉니다.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ 에서 $t$ 에 $1$ 을, $s$ 에 $9$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$9 = \frac{1}{2} {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 9$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 9$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1 - 3)}^{4} + K = 9$

단계 4.2.1.2

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot {(5 - 3)}^{4} + K = 9$

단계 4.2.2

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 9$

단계 4.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$2^{4}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 9$

단계 4.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 9$

단계 4.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$2^{3} + K = 9$

단계 4.2.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 + K = 9$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$K = 9 - 8$

단계 4.3.2

$9$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$K = 1$

단계 5

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ 의 $K$ 에 $1$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + 1$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

이항정리 이용

$s = \frac{1}{2} ({(5 t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$5 t^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$s = \frac{1}{2} (5^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.2

$5$ 를 $4$ 승 합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.3

${(t^{2})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{2 \cdot 4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.3.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.4

$5 t^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (5^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.5

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.6

${(t^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{6}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.7

$125$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 500 t^{6} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.8

$- 3$ 에 $500$ 을 곱합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.9

$5 t^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (5^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.10

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.11

${(t^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.11.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{2 \cdot 2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{4}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.12

$25$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.13

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} \cdot 9 + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.14

$9$ 에 $150$ 을 곱합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.15

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.16

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.17

$- 27$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + {(- 3)}^{4}) + 1$

단계 5.2.2.18

$- 3$ 를 $4$ 승 합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + 81) + 1$

단계 5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

단계 5.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$\frac{1}{2} (625 t^{8})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.1

$625$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$s = \frac{625}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

단계 5.2.4.1.2

$\frac{625}{2}$ 와 $t^{8}$ 을 묶습니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

단계 5.2.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.2.1

$- 1500 t^{6}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

단계 5.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

단계 5.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

단계 5.2.4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.3.1

$1350 t^{4}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

단계 5.2.4.3.2

공약수로 약분합니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

단계 5.2.4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

단계 5.2.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.4.1

$- 540 t^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

단계 5.2.4.4.2

공약수로 약분합니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

단계 5.2.4.4.3

수식을 다시 씁니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

단계 5.2.4.5

$\frac{1}{2}$ 와 $81$ 을 묶습니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + 1$

단계 5.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + \frac{2}{2}$

단계 5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81 + 2}{2}$

단계 5.5

$81$ 를 $2$ 에 더합니다.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{83}{2}$