미적분 예제

$(x + 1) \frac{d y}{d x} - 2 y = {(x + 1)}^{4}$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$(x + 1) \frac{d y}{d x} - 2 y = {(x + 1)}^{4}$ 의 각 항을 $x + 1$ 로 나눕니다.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{4}}{x + 1}$

단계 1.2

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{4}}{x + 1}$

단계 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{4}}{x + 1}$

단계 1.3

${(x + 1)}^{4}$ 및 $x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

${(x + 1)}^{4}$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}{(x + 1) \cdot 1}$

단계 1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}{(x + 1) \cdot 1}$

단계 1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{3}}{1}$

단계 1.3.2.4

${(x + 1)}^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

단계 1.4

$\frac{- 2 y}{x + 1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

단계 1.5

$y$ 와 $\frac{- 2}{x + 1}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{3}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{- 2}{x + 1}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{- 2}{x + 1} d x}$

단계 2.2

$\frac{- 2}{x + 1}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

단계 2.2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

단계 2.2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

단계 2.2.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

단계 2.2.5

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.2.5.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.2.5.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 2.2.5.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.5.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

단계 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

단계 2.2.8

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

${(x + 1)}^{- 2}$

단계 2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{- 2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{- 2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

단계 3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

단계 3.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

단계 3.2.4

$\frac{2}{x + 1}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

단계 3.2.5

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.5.1

$\frac{2 y}{x + 1}$ 에 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

단계 3.2.5.2

지수를 더하여 $x + 1$ 에 ${(x + 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.5.2.1

$x + 1$ 에 ${(x + 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.1.1

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

단계 3.2.5.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

단계 3.2.5.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

단계 3.3

${(x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1

${(x + 1)}^{3}$ 에서 ${(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = x + 1$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = x + 1$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int x + 1 d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x + 1 d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

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단계 7.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x d x + \int d x$

단계 7.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

단계 7.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

단계 7.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + x + C$

단계 8.3

양변에 ${(x + 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

단계 8.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1

${(x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

단계 8.4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

단계 8.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1

$(\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{x^{2}}{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

단계 8.4.2.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 ${(x + 1)}^{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

단계 8.4.2.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $x {(x + 1)}^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

단계 8.4.2.1.4

$x {(x + 1)}^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + \frac{x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

단계 8.4.2.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

단계 8.4.2.1.6

$x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ 에서 $x {(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.6.1

$x^{2} {(x + 1)}^{2}$ 에서 $x {(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

단계 8.4.2.1.6.2

$x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ 에서 $x {(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

단계 8.4.2.1.6.3

$x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)$ 에서 $x {(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

단계 8.4.2.1.7

공통 분모를 가지는 분수로 $C {(x + 1)}^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2}$

단계 8.4.2.1.8

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.8.1

$C {(x + 1)}^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + \frac{C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

단계 8.4.2.1.8.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

단계 8.4.2.1.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.9.1

$x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ 에서 ${(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.9.1.1

$x {(x + 1)}^{2} (x + 2)$ 에서 ${(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

단계 8.4.2.1.9.1.2

$C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ 에서 ${(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)}{2}$

단계 8.4.2.1.9.1.3

${(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)$ 에서 ${(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2) + C \cdot 2)}{2}$

단계 8.4.2.1.9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

단계 8.4.2.1.9.3

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

단계 8.4.2.1.9.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 \cdot x + C \cdot 2)}{2}$

단계 8.4.2.1.9.5

$C$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x + 2 C)}{2}$