미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 8$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{3}{4}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $4 x^{\frac{1}{4}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = 3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ 을 $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = 12 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $8$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$8 = 12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$12 \cdot 1 + K = 8$

단계 4.2.2

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 + K = 8$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $12$ 를 뺍니다.

$K = 8 - 12$

단계 4.3.2

$8$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$K = - 4$

단계 5

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ 의 $K$ 에 $- 4$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $- 4$ 를 대입합니다.

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} - 4$