미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = 0.4 y^{\frac{1}{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (0.4 y^{\frac{1}{2}})$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.4 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

단계 1.2.2

$0.4$ 와 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.4}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

단계 1.2.3

$y^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.4}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

단계 1.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.4$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0.4 d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 0.4 d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 0.4 d t$

단계 2.2.1.2

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 0.4 d t$

단계 2.2.1.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 0.4 d t$

단계 2.2.1.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 0.4 d t$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- \frac{1}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 0.4 d t$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 0.4 t + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$2 y^{\frac{1}{2}} = 0.4 t + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = 0.4 t + K$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = 0.4 t + K$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.4 t}{2} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.4 t}{2} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.4 t}{2} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

$0.4 t$ 에서 $0.4$ 를 인수분해합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.4 (t)}{2} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.3.1.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.4 (t)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.3.1.3

분수를 나눕니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.4}{2} \cdot \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.3.1.4

$0.4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$y^{\frac{1}{2}} = 0.2 \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.3.1.5

$0.2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.5.1

$1$ 에서 $0.2$ 를 인수분해합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = 0.2 \frac{t}{0.2 \cdot 5} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.3.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = 0.2 \frac{t}{0.2 \cdot 5} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.3.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t}{5} + \frac{K}{2}$

단계 3.2

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $2$ 승합니다.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$

단계 3.3

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$

단계 3.3.1.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$

단계 3.3.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$

단계 3.3.1.1.2

간단히 합니다.

$y = {(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$

단계 3.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

${(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

${(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$ 을 $(\frac{t}{5} + \frac{K}{2}) (\frac{t}{5} + \frac{K}{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = (\frac{t}{5} + \frac{K}{2}) (\frac{t}{5} + \frac{K}{2})$

단계 3.3.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(\frac{t}{5} + \frac{K}{2}) (\frac{t}{5} + \frac{K}{2})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{t}{5} (\frac{t}{5} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{t}{5} + \frac{K}{2})$

단계 3.3.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{t}{5} \cdot \frac{t}{5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{t}{5} + \frac{K}{2})$

단계 3.3.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{t}{5} \cdot \frac{t}{5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

단계 3.3.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.3.1.1

$\frac{t}{5} \cdot \frac{t}{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.3.1.1.1

$\frac{t}{5}$ 에 $\frac{t}{5}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{t \cdot t}{5 \cdot 5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

단계 3.3.2.1.3.1.1.2

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{t^{1} t}{5 \cdot 5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

단계 3.3.2.1.3.1.1.3

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{t^{1} t^{1}}{5 \cdot 5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

단계 3.3.2.1.3.1.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{t^{1 + 1}}{5 \cdot 5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

단계 3.3.2.1.3.1.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \frac{t^{2}}{5 \cdot 5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

단계 3.3.2.1.3.1.1.6

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

단계 3.3.2.1.3.1.2

$\frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.3.1.2.1

$\frac{t}{5}$ 에 $\frac{K}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{5 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

단계 3.3.2.1.3.1.2.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

단계 3.3.2.1.3.1.3

$\frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.3.1.3.1

$\frac{K}{2}$ 에 $\frac{t}{5}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{2 \cdot 5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

단계 3.3.2.1.3.1.3.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

단계 3.3.2.1.3.1.4

$\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.3.1.4.1

$\frac{K}{2}$ 에 $\frac{K}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

단계 3.3.2.1.3.1.4.2

$K$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

단계 3.3.2.1.3.1.4.3

$K$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

단계 3.3.2.1.3.1.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

단계 3.3.2.1.3.1.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

단계 3.3.2.1.3.1.4.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K^{2}}{4}$

단계 3.3.2.1.3.2

$\frac{t K}{10}$ 를 $\frac{K t}{10}$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.3.2.1

$t$ 와 $K$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{K t}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K^{2}}{4}$

단계 3.3.2.1.3.2.2

$\frac{K t}{10}$ 를 $\frac{K t}{10}$ 에 더합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + 2 \frac{K t}{10} + \frac{K^{2}}{4}$

단계 3.3.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.4.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + 2 \frac{K t}{2 (5)} + \frac{K^{2}}{4}$

단계 3.3.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + 2 \frac{K t}{2 \cdot 5} + \frac{K^{2}}{4}$

단계 3.3.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{K t}{5} + \frac{K^{2}}{4}$

단계 3.4

$\frac{t^{2}}{25} + \frac{K t}{5} + \frac{K^{2}}{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{t^{2}}{25}$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{K t}{5} + \frac{K^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{25}$

단계 3.4.2

$\frac{K t}{5}$ 와 $\frac{K^{2}}{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{K^{2}}{4} + \frac{K t}{5} + \frac{t^{2}}{25}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = K + \frac{K t}{5} + \frac{t^{2}}{25}$