미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{- y}{x}$

단계 1.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1.1

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 1}{x}$

단계 1.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 1}{x}$

단계 1.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{x}$

단계 1.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

단계 3.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y | | x |) = C$

단계 3.3

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| y x |) = C$

단계 3.4

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

단계 3.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y x |) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = | y x |$

단계 3.6

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.6.1

$| y x | = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y x | = e^{C}$

단계 3.6.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y x = \pm e^{C}$

단계 3.6.3

$y x = \pm e^{C}$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.3.1

$y x = \pm e^{C}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

단계 3.6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.6.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

단계 3.6.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{C}{x}$