미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{x}}{e^{y}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{8 e^{x}}{e^{y}}$

단계 1.2

$e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{8 e^{x}}{e^{y}}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 8 e^{x}$

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 8 e^{x}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$e^{y} d y = 8 e^{x} d x$

$e^{y} d y = 8 e^{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int e^{y} d y = \int 8 e^{x} d x$

단계 2.2

$e^{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $e^{y}$ 입니다.

$e^{y} + C_{1} = \int 8 e^{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{y} + C_{1} = 8 \int e^{x} d x$

단계 2.3.2

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$e^{y} + C_{1} = 8 (e^{x} + C_{2})$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

$e^{y} + C_{1} = 8 e^{x} + C_{2}$

$e^{y} + C_{1} = 8 e^{x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$e^{y} = 8 e^{x} + K$

$e^{y} = 8 e^{x} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln (8 e^{x} + K)$

단계 3.2

왼편을 확장합니다.

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단계 3.2.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln (8 e^{x} + K)$

단계 3.2.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln (8 e^{x} + K)$

단계 3.2.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (8 e^{x} + K)$

$y = \ln (8 e^{x} + K)$

$y = \ln (8 e^{x} + K)$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$