미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} + 1 = x + y$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$x \frac{d y}{d x} + 1 - y = x$

단계 1.1.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$

단계 1.2

$x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

단계 1.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

단계 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

단계 1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

단계 1.5

$\frac{- y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

단계 1.6

$y$ 와 $\frac{- 1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{- 1}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

단계 2.2

$\frac{- 1}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- \ln (x)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{- 1}$

단계 2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{x}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

단계 3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

단계 3.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

단계 3.2.4

$\frac{1}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

단계 3.2.5

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$\frac{y}{x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

단계 3.2.5.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

단계 3.2.5.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

단계 3.2.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

단계 3.2.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

단계 3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

단계 3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$

단계 3.3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

단계 3.3.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \cdot x}$

단계 3.3.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x}$

단계 3.3.4.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

단계 3.3.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1 + 1}}$

단계 3.3.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 7.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 7.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 7.4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 7.4.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 7.4.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

단계 7.5

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

단계 7.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

단계 7.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

단계 7.6.2.2

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

방정식의 양변에서 $\ln (| x |)$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) = \frac{1}{x} + C$

단계 8.1.2

방정식의 양변에서 $\frac{1}{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} = C$

단계 8.1.3

방정식의 양변에서 $C$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

단계 8.1.4

$\frac{1}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{x} - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

단계 8.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

방정식의 양변에 $\ln (| x |)$ 를 더합니다.

$\frac{y}{x} - \frac{1}{x} - C = \ln (| x |)$

단계 8.2.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{x}$ 를 더합니다.

$\frac{y}{x} - C = \ln (| x |) + \frac{1}{x}$

단계 8.2.3

방정식의 양변에 $C$ 를 더합니다.

$\frac{y}{x} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

단계 8.3

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

단계 8.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

단계 8.4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

단계 8.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1

$(\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

단계 8.4.2.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

단계 8.4.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \ln (| x |) x + 1 + C x$

단계 8.4.2.1.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.3.1

$\ln (| x |) x + 1 + C x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = x \ln (| x |) + 1 + C x$

단계 8.4.2.1.3.2

$1$ 를 옮깁니다.

$y = x \ln (| x |) + C x + 1$

단계 8.4.2.1.3.3

$x \ln (| x |)$ 와 $C x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = C x + x \ln (| x |) + 1$