미적분 예제

$y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$ 의 각 항을 $y \ln (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$ 의 각 항을 $y \ln (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{y \ln (x) \frac{d x}{d y}}{y \ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \ln (x) \frac{d x}{d y}}{y \ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

단계 1.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (x) \frac{d x}{d y}}{\ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

단계 1.1.2.2

$\ln (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (x) \frac{d x}{d y}}{\ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

단계 1.1.2.2.2

$\frac{d x}{d y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

단계 1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$\frac{y - 1}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{\frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2}}}{y \ln (x)}$

단계 1.1.3.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y \ln (x)}$

단계 1.1.3.3

조합합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} (y \ln (x))}$

단계 1.1.3.4

${(y - 1)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2} y \ln (x)}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2} \ln (x)}$

단계 1.3

양변에 $x^{2} \ln (x)$ 을 곱합니다.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) (\frac{{(y - 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2} \ln (x)})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

조합합니다.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{y (x^{2} \ln (x))}$

단계 1.4.2

$x^{2} \ln (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$y (x^{2} \ln (x))$ 에서 $x^{2} \ln (x)$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} \ln (x) (y)}$

단계 1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} \ln (x) y}$

단계 1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{y}$

단계 1.4.3

${(y - 1)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$x^{2} \ln (x) d x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int x^{2} \ln (x) d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x^{2}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.2.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.3

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$x^{3}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.4.2

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.4.2.2.5

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1})$ 을 $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.2.1

$\frac{1}{3}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.6.2.3

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.6.2.4

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.6.3

$x^{3}$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.6.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.2.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

${(y - 1)}^{2}$ 을 $(y - 1) (y - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{(y - 1) (y - 1)}{y} d y$

단계 2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y (y - 1) - 1 (y - 1)}{y} d y$

단계 2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)}{y} d y$

단계 2.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

단계 2.3.5

$y$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

단계 2.3.6

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1} y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

단계 2.3.7

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

단계 2.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1 + 1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

단계 2.3.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.9.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

단계 2.3.9.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 1 y - 1 y + 1}{y} d y$

단계 2.3.10

$- 1 y$ 에서 $1 y$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 2 y + 1}{y} d y$

단계 2.3.11

$y^{2} - 2 y + 1$ 을 $y$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.11.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

단계 2.3.11.2

피제수 $y^{2}$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$

단계 2.3.11.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

단계 2.3.11.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

단계 2.3.11.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

단계 2.3.11.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$

단계 2.3.11.7

피제수 $- 2 y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$

단계 2.3.11.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

단계 2.3.11.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 y + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

단계 2.3.11.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

단계 2.3.11.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int y - 2 + \frac{1}{y} d y$

단계 2.3.12

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int y d y + \int - 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.3.13

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} + \int - 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.3.14

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} - 2 y + C_{3} + \int \frac{1}{y} d y$

단계 2.3.15

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} - 2 y + C_{3} + \ln (| y |) + C_{4}$

단계 2.3.16

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} - 2 y + \ln (| y |) + C_{5}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} = \frac{1}{2} y^{2} - 2 y + \ln (| y |) + C$