미적분 예제

$y d x = (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $(e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$ 를 뺍니다.

$y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

단계 3

$N (x, y) = - (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (e^{y} + 2 x y - 2 x)]$

단계 3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $e^{y} + 2 x y - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 3.4

$e^{y}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $e^{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $e^{y}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [2 x y]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 3.6

$2 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x y$ 의 미분은 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 3.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 3.9

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \cdot 1)$

단계 3.11

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2)$

단계 3.12

간단히 합니다.

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단계 3.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - - 2$

단계 3.12.2

항을 묶습니다.

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단계 3.12.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - - 2$

단계 3.12.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y + 2$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 2 y + 2$ 을 대입합니다.

$1 = - 2 y + 2$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$1 = - 2 y + 2$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 2 y + 2$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 5.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{M}$

단계 5.3

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{y}$

단계 5.3.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 y + 1}{y}$

단계 5.3.3

$- 2 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 y) + 1}{y}$

단계 5.3.4

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (2 y) - 1 (- 1)}{y}$

단계 5.3.5

$- (2 y) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 y - 1)}{y}$

단계 5.3.6

$- (2 y - 1)$ 을 $- 1 (2 y - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 y - 1)}{y}$

단계 5.3.7

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$- \frac{2 y - 1}{y}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$

단계 6

적분 $e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 y - 1}{y} d y}$

단계 6.2

$2 y - 1$ 을 $y$ 로 나눕니다.

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단계 6.2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$0$

$2 y$

$1$

단계 6.2.2

피제수 $2 y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$2$
	$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$

단계 6.2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			+	$2 y$	+	$0$

단계 6.2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 y + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$

단계 6.2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$
					-	$1$

단계 6.2.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$μ (x, y) = e^{- \int 2 - \frac{1}{y} d y}$

단계 6.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$μ (x, y) = e^{- (\int 2 d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

단계 6.4

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

단계 6.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

단계 6.6

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - (\ln (| y |) + C))}$

단계 6.7

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + \ln (| y |)} + C$

단계 7

$y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{- 2 y + \ln (y)}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$y$ 에 $e^{- 2 y + \ln (y)}$ 을 곱합니다.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

단계 7.2

$- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ 에 $e^{- 2 y + \ln (y)}$ 을 곱합니다.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - (2 x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

단계 7.4

간단히 합니다.

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단계 7.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

단계 7.4.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) + 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

단계 7.5

분배 법칙을 적용합니다.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

단계 7.6

지수를 더하여 $e^{y}$ 에 $e^{- 2 y + \ln (y)}$ 을 곱합니다.

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단계 7.6.1

$e^{- 2 y + \ln (y)}$ 를 옮깁니다.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- (e^{- 2 y + \ln (y)} e^{y}) - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

단계 7.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- 2 y + \ln (y) + y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

단계 7.6.3

$- 2 y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y e^{- 2 y + \ln (y)} d x$

단계 9

$M (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + C$

단계 10

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.3

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y e^{- 2 y + \ln (y)} x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}]$ 입니다.

$x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.3.2

$f (y) = y$ , $g (y) = e^{- 2 y + \ln (y)}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- 2 y + \ln (y)}] + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.3.3

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = - 2 y + \ln (y)$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 12.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 2 y + \ln (y)$ 로 바꿉니다.

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.3.3.3

$u$ 를 모두 $- 2 y + \ln (y)$ 로 바꿉니다.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.3.4

합의 법칙에 의해 $- 2 y + \ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ 가 됩니다.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.3.5

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 y$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.3.7

$\ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{y}$ 입니다.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.3.9

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.3.10

$e^{- 2 y + \ln (y)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.5

간단히 합니다.

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단계 12.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y}))) + x e^{- 2 y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y (- 2 + \frac{1}{y}) + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.5.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.5.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \cdot - 2 + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.5.3.2

$e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.5.3.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.5.3.3.1

$e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.5.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.5.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.5.3.4

괄호를 제거합니다.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.5.4

$e^{- 2 y + \ln (y)} x$ 를 $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 12.5.5

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

단계 13

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

단계 13.1.2

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.2.1

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ 를 $2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ 에 더합니다.

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 0 - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

단계 13.1.2.2

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

단계 13.1.2.3

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ 에서 $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ 을 뺍니다.

$0 + e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

단계 13.1.2.4

$0$ 를 $e^{- y + \ln (y)}$ 에 더합니다.

$e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

단계 13.1.3

$\frac{d g}{d y}$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

단계 13.1.4

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.4.1

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

단계 13.1.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

단계 13.1.4.2.2

$\frac{d g}{d y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

단계 13.1.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.4.3.1

$\frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\frac{d g}{d y} = - 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$

단계 13.1.4.3.2

$- 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$ 을 $- e^{- y + \ln (y)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

단계 14

$- e^{- y + \ln (y)}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

단계 14.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - \int e^{- y + \ln (y)} d y$

단계 14.4

$\int e^{- y + \ln (y)} d y$ 을 $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = - \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

단계 14.5

$e^{\ln (y)}$ 을 $y$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = - \int e^{- y} y d y$

단계 14.6

$u = y$ 이고 $d v = e^{- y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

단계 14.7

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

단계 14.8

간단히 합니다.

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단계 14.8.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

단계 14.8.2

$\int e^{- y} d y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

단계 14.9

먼저 $u = - y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d y$ 이므로 $- d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 14.9.1

$u = - y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 14.9.1.1

$- y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- y]$

단계 14.9.1.2

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- \frac{d}{d y} [y]$

단계 14.9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 14.9.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 14.9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

단계 14.10

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

단계 14.11

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

단계 14.12

$- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ 을 $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

단계 14.13

$u$ 를 모두 $- y$ 로 바꿉니다.

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

단계 14.14

간단히 합니다.

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단계 14.14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

단계 14.14.2

$- (- y e^{- y})$ 을 곱합니다.

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단계 14.14.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

단계 14.14.2.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

단계 14.14.3

$- - e^{- y}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.14.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

단계 14.14.3.2

$e^{- y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

단계 15

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

단계 16

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = y x e^{- 2 y + \ln (y)} + y e^{- y} + e^{- y} + C$