미적분 예제

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 1$

단계 1

방정식 좌변이 $(x + 1) y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 1.3

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

단계 1.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

단계 1.7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

단계 1.8

$y$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

단계 1.9

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = x^{2} - 1$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$(x + 1) y = \int x^{2} - 1 d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$(x + 1) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

단계 5.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

단계 5.3

상수 규칙을 적용합니다.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

단계 5.4

간단히 합니다.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

단계 6

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ 의 각 항을 $x + 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ 의 각 항을 $x + 1$ 로 나눕니다.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.1.3

$\frac{x^{3}}{3}$ 에 $\frac{1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x}{x + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $3 (x + 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 6.3.3.1

$\frac{x}{x + 1}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.3.2

$(x + 1) \cdot 3$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x^{3} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.5.1

$x^{3} - x \cdot 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.3.5.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x \cdot x^{2} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.5.1.2

$- x \cdot 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.5.1.3

$x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x (x^{2} - 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.5.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{C}{x + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1} \cdot \frac{3}{3}$

단계 6.3.7

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $3 (x + 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 6.3.7.1

$\frac{C}{x + 1}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3}$

단계 6.3.7.2

$(x + 1) \cdot 3$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

단계 6.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x (x^{2} - 3) + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

단계 6.3.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

단계 6.3.9.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.9.2.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.9.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

단계 6.3.9.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

단계 6.3.9.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

단계 6.3.9.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$y = \frac{x^{3} - 3 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

단계 6.3.9.4

$C$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 (x + 1)}$