미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x}$ , $y (0) = 4$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = e^{3 x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.1.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.1.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 2.3.1.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 2.3.1.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

단계 2.3.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

단계 2.3.3

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

단계 2.3.4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

단계 2.3.6

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $4$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$4 = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot e^{0} + K = 4$

단계 4.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + K = 4$

단계 4.2.3

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} + K = 4$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{1}{3}$ 를 뺍니다.

$K = 4 - \frac{1}{3}$

단계 4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

단계 4.3.3

$4$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

단계 4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

단계 4.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.5.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$K = \frac{12 - 1}{3}$

단계 4.3.5.2

$12$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$K = \frac{11}{3}$

단계 5

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ 의 $K$ 에 $\frac{11}{3}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $\frac{11}{3}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{11}{3}$

단계 5.2

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3}$