미적분 예제

$- \frac{2 y}{t^{3}} d t + \frac{1}{t^{2}} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $\frac{2 y}{t^{3}} d t$ 를 더합니다.

$\frac{1}{t^{2}} d y = \frac{2 y}{t^{3}} d t$

단계 2

양변에 $\frac{t^{2}}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{1}{t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

조합합니다.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

단계 3.2

$t^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

단계 3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

단계 3.3

조합합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{y t^{3}} d t$

단계 3.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$y t^{3}$ 에서 $t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{t^{2} (y t)} d t$

단계 3.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{t^{2} (y t)} d t$

단계 3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 y}{y t} d t$

단계 3.5

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 y}{y t} d t$

단계 3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{t} d t$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{t} d t$

단계 4.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

단계 4.3.2

$\frac{1}{t}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| t |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = 2 \ln (| t |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| t |) = C$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\ln (| y |) - 2 \ln (| t |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| t |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

단계 5.2.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| t |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (| y |) - \ln (t^{2}) = C$

단계 5.2.1.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$

단계 5.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| y |}{t^{2}})} = e^{C}$

단계 5.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = \frac{| y |}{t^{2}}$

단계 5.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$

단계 5.5.2

양변에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

단계 5.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1.1

$t^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

단계 5.5.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{C} t^{2}$

단계 5.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.2.1

$e^{C} t^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| y | = t^{2} e^{C}$

단계 5.5.4

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm t^{2} e^{C}$

단계 6

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm t^{2} C$

단계 6.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C t^{2}$