미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$

단계 1

미분 방정식을 풀려면 $y^{2}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = y^{- 1}$

단계 2

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{- 1}$

단계 3

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{- 1}$

단계 4

$x$ 에 대해 $v^{- 1}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$v^{- 1}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

단계 4.3

$f (x) = 1$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.1

$v$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4.3.2

$0$ 에서 $\frac{d}{d x} [v]$ 을 뺍니다.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.5

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

단계 5

원래 방정식 $\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 은 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 으로, $y$ 은 $v^{- 1}$ 로 치환합니다.

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - {(v^{- 1})}^{2}$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d v}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - {(v^{- 1})}^{2}$

단계 6.1.1.2

$- {(v^{- 1})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

${(v^{- 1})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 1 \cdot 2}$

단계 6.1.1.2.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 2}$

단계 6.1.1.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - \frac{1}{v^{2}}$

단계 6.1.1.3

방정식의 양변에 $\frac{1}{v}$ 를 더합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$

단계 6.1.1.4

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.4.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

단계 6.1.1.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

단계 6.1.1.4.2.2

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

단계 6.1.1.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.4.3.1.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

단계 6.1.1.4.3.1.2

$\frac{1}{v^{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

단계 6.1.1.4.3.1.3

$\frac{\frac{1}{v}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - 1 \cdot \frac{1}{v}$

단계 6.1.1.4.3.1.4

$- 1 \cdot \frac{1}{v}$ 을 $- \frac{1}{v}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}$

단계 6.1.1.5

양변에 $v^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

단계 6.1.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.6.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.6.1.1

$v^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.6.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

단계 6.1.1.6.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

단계 6.1.1.6.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.6.2.1

$(\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.6.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

단계 6.1.1.6.2.1.2

$v^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.6.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

단계 6.1.1.6.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = 1 - \frac{1}{v} v^{2}$

단계 6.1.1.6.2.1.3

$v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.6.2.1.3.1

$- \frac{1}{v}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} v^{2}$

단계 6.1.1.6.2.1.3.2

$v^{2}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

단계 6.1.1.6.2.1.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

단계 6.1.1.6.2.1.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = 1 - 1 v$

단계 6.1.1.6.2.1.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.6.2.1.4.1

$- 1 v$ 을 $- v$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = 1 - v$

단계 6.1.1.6.2.1.4.2

$1$ 와 $- v$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d v}{d x} = - v + 1$

단계 6.1.2

양변에 $\frac{1}{- v + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- v + 1} (- v + 1)$

단계 6.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

$\frac{1}{- v + 1}$ 에 $- v + 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

단계 6.1.3.2

$- v + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

단계 6.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = 1$

단계 6.1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{- v + 1} d v = 1 d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{- v + 1} d v = \int d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

먼저 $u = - v + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d v$ 이므로 $- d u = d v$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

$u = - v + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d v}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 6.2.2.1.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 6.2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

단계 6.2.2.2

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

단계 6.2.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

단계 6.2.2.4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

단계 6.2.2.5

간단히 합니다.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

단계 6.2.2.6

$u$ 를 모두 $- v + 1$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = \int d x$

단계 6.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$

단계 6.3

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (| - v + 1 |)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 6.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (| - v + 1 |)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 6.3.1.2.2

$\ln (| - v + 1 |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| - v + 1 |) = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 6.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.3.1.1

$\frac{x}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| - v + 1 |) = - 1 \cdot x + \frac{C}{- 1}$

단계 6.3.1.3.1.2

$- 1 \cdot x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| - v + 1 |) = - x + \frac{C}{- 1}$

단계 6.3.1.3.1.3

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| - v + 1 |) = - x - 1 \cdot C$

단계 6.3.1.3.1.4

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| - v + 1 |) = - x - C$

단계 6.3.2

$v$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| - v + 1 |)} = e^{- x - C}$

단계 6.3.3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| - v + 1 |) = - x - C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- x - C} = | - v + 1 |$

단계 6.3.4

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.1

$| - v + 1 | = e^{- x - C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| - v + 1 | = e^{- x - C}$

단계 6.3.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$- v + 1 = \pm e^{- x - C}$

단계 6.3.4.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$

단계 6.3.4.4

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.4.1

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 6.3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 6.3.4.4.2.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 6.3.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- x - C}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

단계 6.3.4.4.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm e^{- x - C})$ 을 $- (\pm e^{- x - C})$ 로 바꿔 씁니다.

$v = - (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

단계 6.3.4.4.3.1.3

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$v = - (\pm e^{- x - C}) + 1$

단계 6.4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$v = - (\pm e^{- x + C}) + 1$

단계 6.4.2

$e^{- x + C}$ 을 $e^{- x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$v = - (\pm e^{- x} e^{C}) + 1$

단계 6.4.3

$e^{- x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$v = - (\pm e^{C} e^{- x}) + 1$

단계 6.4.4

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$v = - (C e^{- x}) + 1$

단계 7

$v$ 에 $y^{- 1}$ 를 대입합니다.

$y^{- 1} = - (C e^{- x}) + 1$