미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{- y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{e^{- y}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (x^{2} e^{- y})$

단계 1.2

$e^{- y}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

$x^{2} e^{- y}$ 에서 $e^{- y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} x^{2})$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} x^{2})$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$e^{- y}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.1.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.1.2.1

${(e^{- y})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.1.2.1.2

$- y \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.1.2.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 e^{1 y} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.1.2.1.2.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 e^{y} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.1.2.2

$e^{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{y} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.2

$e^{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $e^{y}$ 입니다.

$e^{y} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$e^{y} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{3}}{3} + K)$

단계 3.2

왼편을 확장합니다.

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단계 3.2.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{3}}{3} + K)$

단계 3.2.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{3}}{3} + K)$

단계 3.2.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (\frac{x^{3}}{3} + K)$