미적분 예제

$(x^{3} + \frac{y}{x}) d x + (y^{2} + \ln (x)) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x^{3} + \frac{y}{x}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + \frac{y}{x}]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + \frac{y}{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

단계 1.2.2

$x^{3}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{3}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{3}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{x}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{y}{x}$ 의 미분은 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

단계 1.3.3

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

단계 1.4

$0$ 를 $\frac{1}{x}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

단계 2

$N (x, y) = y^{2} + \ln (x)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (x)]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} + \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 2.2.2

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 2.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{x}$

단계 2.4

$0$ 를 $\frac{1}{x}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 대입합니다.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y^{2} + \ln (x) d y$

단계 5

$N (x, y) = y^{2} + \ln (x)$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int y^{2} d y + \int \ln (x) d y$

단계 5.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C + \int \ln (x) d y$

단계 5.3

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C + \ln (x) y + C$

단계 5.4

간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

단계 8.2

미분합니다.

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단계 8.2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

단계 8.2.2

$\frac{1}{3} y^{3}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{1}{3} y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\ln (x) y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$0 + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

단계 8.3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$0 + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

단계 8.3.3

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

단계 8.5

간단히 합니다.

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단계 8.5.1

$0$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 더합니다.

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

단계 8.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1.1

방정식의 양변에서 $x^{3}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} = \frac{y}{x}$

단계 9.1.1.2

방정식의 양변에서 $\frac{y}{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} - \frac{y}{x} = 0$

단계 9.1.1.3

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} - \frac{y}{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.1.3.1

$\frac{y}{x}$ 에서 $\frac{y}{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} - x^{3} + 0 = 0$

단계 9.1.1.3.2

$\frac{d g}{d x} - x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} - x^{3} = 0$

단계 9.1.2

방정식의 양변에 $x^{3}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

단계 10

$x^{3}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x^{3} d x$

단계 10.3

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

단계 11

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$

단계 12

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$

단계 12.1.2

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{x^{4}}{4} + C$

단계 12.2

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{x^{4}}{4} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + y \ln (x) + \frac{x^{4}}{4} + C$