미적분 예제

$x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$ 의 각 항을 $x^{2} y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$ 의 각 항을 $x^{2} y$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} y \frac{d y}{d x}}{x^{2} y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} y \frac{d y}{d x}}{x^{2} y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

단계 1.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

단계 1.1.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

단계 1.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.3

양변에 $\frac{y}{e^{y}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

조합합니다.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \cdot 1}{y x^{2}}$

단계 1.4.2

조합합니다.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (e^{y} \cdot 1)}{e^{y} (y x^{2})}$

단계 1.4.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (e^{y} \cdot 1)}{e^{y} (y x^{2})}$

단계 1.4.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \cdot 1}{e^{y} (x^{2})}$

단계 1.4.4

$e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \cdot 1}{e^{y} x^{2}}$

단계 1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$e^{y}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.1.2

${(e^{y})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.1.2.2

$y$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.1.2.3

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.2

$u = y$ 이고 $d v = e^{- y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.4.2

$\int e^{- y} d y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.5

먼저 $u = - y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d y$ 이므로 $- d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$u = - y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1.1

$- y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.2.5.1.2

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 2.2.5.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 2.2.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.8

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ 을 $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.9

$u$ 를 모두 $- y$ 로 바꿉니다.

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.10

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 2.3.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

단계 2.3.3

$- x^{- 1} + C_{2}$ 을 $- \frac{1}{x} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- e^{- y} y - e^{- y} = - \frac{1}{x} + K$