미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y^{2} + 1}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $y^{2} + 1$ 을 곱합니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x}{y^{2} + 1}$

단계 1.2

$y^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x}{y^{2} + 1}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(y^{2} + 1) d y = x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} + 1 d y = \int x d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x d x$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$