미적분 예제

$x d y + (x y + y - 1) d x = 0$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다시 씁니다.

$(x y + y - 1) d x + x d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = x y + y - 1$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y - 1]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x y + y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 2.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 2.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 2.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 2.4.2

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 0$

단계 2.4.3

$x + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1$

단계 3

$N (x, y) = x$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x + 1$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$x + 1 = 1$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$x + 1 = 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x + 1$ 를 대입합니다.

$\frac{x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 5.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{x + 1 - 1}{N}$

단계 5.3

$N$ 에 $x$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$N$ 에 $x$ 를 대입합니다.

$\frac{x + 1 - 1}{x}$

단계 5.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{x + 0}{x}$

단계 5.3.2.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x}{x}$

단계 5.3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{x}$

단계 5.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$1$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

단계 6

적분 $e^{\int d x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

단계 6.2

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

단계 7

$(x y + y - 1) d x + x d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{x}$ 를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x y + y - 1$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$(x y + y - 1) e^{x} d x + x d y = 0$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x y e^{x} + y e^{x} - 1 e^{x}) d x + x d y = 0$

단계 7.3

$- 1 e^{x}$ 을 $- e^{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

단계 7.4

$x$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x e^{x} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x e^{x} d y$

단계 9

$N (x, y) = x e^{x}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = x e^{x} y + C$

단계 10

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $x e^{x} y + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

단계 12.3

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x e^{x} y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

단계 12.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

단계 12.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

단계 12.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

단계 12.3.5

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

단계 12.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

단계 12.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

단계 12.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

단계 12.5.3

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

단계 13

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

방정식의 양변에서 $x y e^{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x}$

단계 13.1.2

방정식의 양변에서 $y e^{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

단계 13.1.3

$x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.3.1

$x y e^{x}$ 에서 $x y e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

단계 13.1.3.2

$0$ 를 $y e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

단계 13.1.3.3

$y e^{x}$ 에서 $y e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

단계 13.1.3.4

$0$ 에서 $e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

단계 14

$- e^{x}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int - e^{x} d x$

단계 14.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

단계 14.4

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$g (x) = - (e^{x} + C)$

단계 14.5

간단히 합니다.

$g (x) = - e^{x} + C$

단계 15

$f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$

단계 16

$f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = x y e^{x} - e^{x} + C$