미적분 예제

$4 x y^{2} d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $4 x y^{2} d x$ 를 뺍니다.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y^{2} d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$(x^{2} + 1) y^{2}$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2})} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

단계 3.3

$- 4$ 와 $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

단계 3.4

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$(x^{2} + 1) y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (x y^{2}) d x$

단계 3.4.2

$x y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

단계 3.4.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

단계 3.4.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

단계 3.5

$\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 4.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 4.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 4.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 4.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 4.3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

단계 4.3.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 4.3.4

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 4.3.4.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.4.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.4.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 4.3.4.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 4.3.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 4.3.5.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 4.3.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 4.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.7.2

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.2.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.7.2.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

단계 4.3.9

간단히 합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

단계 4.3.10

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ 을 간단히 합니다.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$

단계 5.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y, 1, 1$

단계 5.2.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y$

단계 5.3

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ 의 각 항에 $y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ 의 각 항에 $y$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

단계 5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

단계 5.3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$

단계 5.3.3.2

$- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$

단계 5.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$

단계 5.4.2

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C y = - 1$

단계 5.4.2.2

$C y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C = - 1$

단계 5.4.2.3

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

단계 5.4.3

$- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ 을 $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

단계 5.4.4

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ 의 각 항을 $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.1

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ 의 각 항을 $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ 로 나눕니다.

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

단계 5.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.2.1

$- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

단계 5.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

단계 5.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

단계 5.4.4.3.2

$- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C}$

단계 5.4.4.3.3

$C$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)}$

단계 5.4.4.3.4

$- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

단계 5.4.4.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.3.5.1

$- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ 을 $- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

단계 5.4.4.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - - \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

단계 5.4.4.3.5.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = 1 \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

단계 5.4.4.3.5.4

$\frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

단계 6

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$