미적분 예제

$3 \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 2 x^{4} y^{4}$

단계 1

베르누이 방법에 맞도록 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$3 \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 2 x^{4} y^{4}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

단계 1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

단계 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

단계 1.3

$\frac{3}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

단계 1.4

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}) = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

단계 1.5

$y$ 와 $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} y = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

단계 2

미분 방정식을 풀려면 $y^{4}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = y^{- 3}$

단계 3

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

단계 4

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

단계 5

$x$ 에 대해 $v^{- \frac{1}{3}}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$v^{- \frac{1}{3}}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

단계 5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

단계 5.3

$f (x) = 1$ , $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

단계 5.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

단계 5.4.2

${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

단계 5.4.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.4.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.1

$v^{\frac{1}{3}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.4.4.2

$0$ 에서 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ 을 뺍니다.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.4.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.5

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.5.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.5.3

$u$ 를 모두 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.9.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.11

$\frac{1}{3}$ 와 $v^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $v^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.13

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.14

$\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ 와 $v'$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.15

$\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

단계 5.16

$\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ 에 $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.17

지수를 더하여 $v^{\frac{2}{3}}$ 에 $v^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.17.1

$v^{\frac{2}{3}}$ 를 옮깁니다.

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

단계 5.17.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

단계 5.17.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

단계 5.17.4

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

단계 6

원래 방정식 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} y = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 은 $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ 으로, $y$ 은 $v^{- \frac{1}{3}}$ 로 치환합니다.

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

단계 7

치환 미분 방정식을 풉니다.

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단계 7.1

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 의 각 항에 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 의 각 항에 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.1

$3 v^{\frac{4}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.1.2

$- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 에서 $3 v^{\frac{4}{3}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.4

지수를 더하여 $v^{- \frac{1}{3}}$ 에 $v^{\frac{4}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.4.1

$v^{\frac{4}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.4.4

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.4.5

$3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.5

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.7

$\frac{1}{x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.8

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot - 3 = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.9

$\frac{v}{x}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v \cdot - 3}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.10

$v$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 3 \cdot v}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.2.1.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.1.3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 1 \cdot 3 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.1.3.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1

$- 1 \cdot 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 3 \cdot - 1 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.1.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 3 \cdot - 1 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.1.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - (2 x^{4}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.1.3.4.2

${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.1.3.4.2.2

$- \frac{1}{3} \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.4.2.2.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.1.3.4.2.2.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.1.3.4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.1.3.5

지수를 더하여 $v^{- \frac{4}{3}}$ 에 $v^{\frac{4}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.5.1

$v^{\frac{4}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

단계 7.1.1.3.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

단계 7.1.1.3.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

단계 7.1.1.3.5.4

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{0}{3}}$

단계 7.1.1.3.5.5

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{0}$

단계 7.1.1.3.6

$- 2 x^{4} v^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4}$

단계 7.1.2

$- \frac{3 v}{x}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{3}{x}) = - 2 x^{4}$

단계 7.1.3

$v$ 와 $- \frac{3}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 2 x^{4}$

단계 7.2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - \frac{3}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

단계 7.2.2

$- \frac{3}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

단계 7.2.2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 7.2.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 7.2.2.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

단계 7.2.2.5

간단히 합니다.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

단계 7.2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 3 \ln (x)}$

단계 7.2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

단계 7.2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{- 3}$

단계 7.2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{3}}$

단계 7.3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

단계 7.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 와 $\frac{d v}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

단계 7.3.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

단계 7.3.2.3

$\frac{3}{x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 v}{x} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

단계 7.3.2.4

$- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 v}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.1

$\frac{3 v}{x}$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

단계 7.3.2.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.2.1

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

단계 7.3.2.4.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

단계 7.3.2.4.2.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

단계 7.3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = - 2 \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

단계 7.3.4

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} x^{4}$

단계 7.3.5

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.5.1

$x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} (x^{3} x)$

단계 7.3.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} (x^{3} x)$

단계 7.3.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = - 2 x$

단계 7.4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} v] = - 2 x$

단계 7.5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} v] d x = \int - 2 x d x$

단계 7.6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x^{3}} v = \int - 2 x d x$

단계 7.7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 \int x d x$

단계 7.7.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 7.7.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.1

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 7.7.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

단계 7.7.3.2.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.2.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

단계 7.7.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

단계 7.7.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

단계 7.7.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

단계 7.7.3.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{x^{3}} v = - x^{2} + C$

단계 7.8

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{v}{x^{3}} = - x^{2} + C$

단계 7.8.2

양변에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{v}{x^{3}} x^{3} = (- x^{2} + C) x^{3}$

단계 7.8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.1.1

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{v}{x^{3}} x^{3} = (- x^{2} + C) x^{3}$

단계 7.8.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$v = (- x^{2} + C) x^{3}$

단계 7.8.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.2.1

$(- x^{2} + C) x^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$v = - x^{2} x^{3} + C x^{3}$

단계 7.8.3.2.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.2.1.2.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$v = - (x^{3} x^{2}) + C x^{3}$

단계 7.8.3.2.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$v = - x^{3 + 2} + C x^{3}$

단계 7.8.3.2.1.2.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$v = - x^{5} + C x^{3}$

단계 8

$v$ 에 $y^{- 3}$ 를 대입합니다.

$y^{- 3} = - x^{5} + C x^{3}$