미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y^{2} - 1$ 을 곱합니다.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1}$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1^{2}}$

단계 1.2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{(y + 1) (y - 1)}$

단계 1.2.2

$y^{2} - 1$ 에 $\frac{3 x + 2}{(y + 1) (y - 1)}$ 을 곱합니다.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

단계 1.2.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1^{2}) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

단계 1.2.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

단계 1.2.4

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

단계 1.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x + 2)}{y - 1}$

단계 1.2.5

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x + 2)}{y - 1}$

단계 1.2.5.2

$3 x + 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 3 x + 2$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(y^{2} - 1) d y = (3 x + 2) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y^{2} d y + \int - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - y + C_{2} = \int 3 x + 2 d x$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int 3 x + 2 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int 3 x d x + \int 2 d x$

단계 2.3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 \int x d x + \int 2 d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 2 d x$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 2 x + C_{5}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

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단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 2 x + C_{5}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C_{6}$

단계 2.3.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - y = \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + K$