미적분 예제

$x^{2} d y + (x y + x^{2}) d x = 0$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다시 씁니다.

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = x y + x^{2}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x^{2}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x y + x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

단계 2.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

단계 3

$N (x, y) = x^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x$ 을 대입합니다.

$x = 2 x$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$x = 2 x$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x$ 를 대입합니다.

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 5.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x$ 를 대입합니다.

$\frac{x - (2 x)}{N}$

단계 5.3

$N$ 에 $x^{2}$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$N$ 에 $x^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{x - (2 x)}{x^{2}}$

단계 5.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$x - 1 \cdot 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

단계 5.3.2.1.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

단계 5.3.2.1.3

$- 1 \cdot 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

단계 5.3.2.1.4

$x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (1 - 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

단계 5.3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x (1 - 2)}{x^{2}}$

단계 5.3.2.3

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x \cdot - 1}{x^{2}}$

단계 5.3.3

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1

$x \cdot - 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- 1)}{x^{2}}$

단계 5.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- 1)}{x \cdot x}$

단계 5.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot - 1}{x \cdot x}$

단계 5.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{x}$

단계 5.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{x}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

단계 6

적분 $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

단계 6.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

단계 6.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

단계 6.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

단계 6.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

단계 6.4.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

단계 7

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{x}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$x y + x^{2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$(x y + x^{2}) \frac{1}{x} d x + x^{2} d y = 0$

단계 7.2

$x y + x^{2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x y + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

단계 7.3

$x y + x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.3.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (y) + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

단계 7.3.2

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (y) + x \cdot x}{x} d x + x^{2} d y = 0$

단계 7.3.3

$x (y) + x \cdot x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

단계 7.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

단계 7.4.2

$y + x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(y + x) d x + x^{2} d y = 0$

단계 7.5

$x^{2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$(y + x) d x + x^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

단계 7.6

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.6.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

단계 7.6.2

공약수로 약분합니다.

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

단계 7.6.3

수식을 다시 씁니다.

$(y + x) d x + x d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x d y$

단계 9

$N (x, y) = x$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = x y + C$

단계 10

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x y + g (x)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = y + x$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = y + x$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $x y + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

단계 12.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

단계 12.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

단계 12.3.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

단계 12.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y + \frac{d g}{d x} = y + x$

단계 12.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y = y + x$

단계 13

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 13.1.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = y + x - y$

단계 13.1.2

$y + x - y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 13.1.2.1

$y$ 에서 $y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

단계 13.1.2.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x$

단계 14

$x$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d x} = x$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x d x$

단계 14.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 15

$f (x, y) = x y + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = x y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 16

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x y + \frac{x^{2}}{2} + C$