미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x e^{- x^{2}}}{y})$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

단계 1.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

단계 1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

단계 1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = - (x e^{- x^{2}})$

$y \frac{d y}{d x} = - x e^{- x^{2}}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y d y = - x e^{- x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int - x e^{- x^{2}} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x e^{- x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x^{2}} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$e^{- x^{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.3.2.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.2.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.2.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

단계 2.3.2.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

단계 2.3.2.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.4.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

단계 2.3.2.1.4.2

$- 2 e^{- x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

단계 2.3.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2} + C_{2})$

단계 2.3.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2}) + C_{2}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$u_{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - - \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

단계 2.3.5.2.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

단계 2.3.5.2.3

$\frac{u_{2}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

단계 2.3.5.3

$u_{2}$ 를 모두 $e^{- x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C_{2}$

단계 2.3.5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

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단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{- x^{2}}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (\frac{e^{- x^{2}}}{2} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = e^{- x^{2}} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

단계 3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

단계 3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$