미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{y - 1}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y - 1$ 을 곱합니다.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{x + 1}{y - 1}$

단계 1.2

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{x + 1}{y - 1}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = x + 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(y - 1) d y = (x + 1) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y - 1 d y = \int x + 1 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y d y + \int - 1 d y = \int x + 1 d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y = \int x + 1 d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} = \int x + 1 d x$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int x + 1 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int x d x + \int d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int d x$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + x + C_{5}$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

단계 3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{x^{2}}{2} + x + K$

단계 3.3

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{x^{2}}{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{x^{2}}{2} = x + K$

단계 3.3.2

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{x^{2}}{2} - x = K$

단계 3.3.3

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{x^{2}}{2} - x - K = 0$

단계 3.4

식 전체에 최소공분모 $2$ 을 곱한 다음 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} + 2 (- y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} - 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} - 2 y - x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} - 2 y - x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} - 2 y - x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

단계 3.4.3

$- 2 y$ 를 옮깁니다.

$y^{2} - x^{2} - 2 x - 2 K - 2 y = 0$

단계 3.4.4

$- 2 x$ 를 옮깁니다.

$y^{2} - x^{2} - 2 K - 2 x - 2 y = 0$

단계 3.4.5

$y^{2}$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 2 y = 0$

단계 3.5

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.6

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = - x^{2} - 2 K - 2 x$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.4.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.4.2

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.4.3

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5

$4 + 4 x^{2} + 8 K + 8 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.5.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5.2

$8 K$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5.3

$8 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5.4

$4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5.5

$4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5.6

$4 \cdot (1 + x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.6

$4 (1 + x^{2} + 2 K + 2 x)$ 을 $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K + 2 x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.6.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.6.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

단계 3.7.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

단계 3.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K + 2 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K + 2 x}$