미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x^{4} - y^{2} + x^{4} - 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} x^{4} - y^{2}) + x^{4} - 1$

단계 1.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1)$

단계 1.1.2

최대공약수 $x^{4} - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = (x^{4} - 1) (y^{2} + 1)$

단계 1.1.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

단계 1.1.4

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

단계 1.1.5

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

단계 1.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

단계 1.1.6.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.2.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (y^{2} + 1)$

단계 1.1.6.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1))$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$y^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$ 에서 $y^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

단계 1.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

단계 1.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$

단계 1.3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} + 1) (x + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)$

단계 1.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)$

단계 1.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

단계 1.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

단계 1.3.3.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

단계 1.3.3.1.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

단계 1.3.3.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

단계 1.3.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

단계 1.3.3.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$

단계 1.3.4

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1.1

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.1.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.2

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1 \cdot x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.3

$- 1 x^{3}$ 을 $- x^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.4.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.4.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.4.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.6

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.7

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.8

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.9

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.10

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

단계 1.3.5.11

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

단계 1.3.6

$x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1

$- x^{3}$ 를 $x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

단계 1.3.6.2

$x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

단계 1.3.6.3

$- x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x + x - 1$

단계 1.3.6.4

$x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x + x - 1$

단계 1.3.6.5

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - 1$

단계 1.3.6.6

$x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{4} - 1) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{4} - 1 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

단계 2.2.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\arctan (y) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} - 1 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - 1 d x$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - x + C_{3}$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\arctan (y) = \frac{1}{5} x^{5} - x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (\frac{1}{5} x^{5} - x + K)$

단계 3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$y = \tan (\frac{x^{5}}{5} - x + K)$