미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \cos (4 x) - 2 x$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (\cos (4 x) - 2 x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) d x + \int - 2 x d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.3.2.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 2.3.2.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int - 2 x d x$

단계 2.3.3

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int - 2 x d x$

단계 2.3.4

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u + \int - 2 x d x$

단계 2.3.5

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) + \int - 2 x d x$

단계 2.3.6

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 \int x d x$

단계 2.3.7

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

단계 2.3.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.8.2.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.2.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.8.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.8.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.8.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.9

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (4 x) - x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.10

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + K$