미적분 예제

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

단계 1

방정식 좌변이 $x^{2} y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + y (2 x)$

단계 1.4

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

단계 1.5

괄호를 제거합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

단계 1.6

$y$ 를 옮깁니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

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단계 5.1

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

단계 5.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

단계 5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

단계 5.3

상수 규칙을 적용합니다.

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

단계 5.4

간단히 합니다.

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

단계 6

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1.1.1

$\ln (x) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.2

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.2.1

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.2.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 7

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $2$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

단계 8

$C$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.1

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

단계 8.2

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

단계 8.2.2

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

단계 8.2.3

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

단계 8.2.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.2.4.1

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

단계 8.2.4.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

단계 8.2.4.3

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 + C = 2$

단계 8.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 8.3.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$C = 2 + 1$

단계 8.3.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$C = 3$

단계 9

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ 의 $C$ 에 $3$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$C$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$