미적분 예제

$x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} d y = x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

단계 3.1.2

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

단계 3.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

단계 3.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

단계 3.3

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

단계 3.3.2

$x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x) d x$

단계 3.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x) d x$

단계 3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x d x$

단계 3.4

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

먼저 $u_{1} = 1 + y^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 y d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$u_{1} = 1 + y^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$1 + y^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

단계 4.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 4.2.1.1.3

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 4.2.1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 y$

단계 4.2.1.1.5

$0$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$2 y$

단계 4.2.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.2.2

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.4.2

${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.4.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.5

멱의 법칙에 의해 ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ 을 $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.6.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.6.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.6.2.3

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.2.7

$u_{1}$ 를 모두 $1 + y^{2}$ 로 바꿉니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

먼저 $u_{2} = 1 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$u_{2} = 1 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1.1

$1 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 4.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.3.1.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.3.1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 4.3.1.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 4.3.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$\frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u_{2}$

단계 4.3.2.2

${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

단계 4.3.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

단계 4.3.4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

단계 4.3.4.2

${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

단계 4.3.4.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

단계 4.3.4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

단계 4.3.5

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

단계 4.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1

$\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 을 $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 4.3.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 4.3.6.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 4.3.6.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 4.3.6.2.3

${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 4.3.7

$u_{2}$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$