미적분 예제

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

단계 1.2

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x \cos^{2} (y)$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

단계 1.3

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = \cos (y)$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (y)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

단계 1.3.3

$u$ 를 모두 $\cos (y)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

단계 1.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

단계 1.5

$\cos (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- \sin (y)$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

단계 1.6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

단계 2

$N (x, y) = \tan (y)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

단계 2.2

$\tan (y)$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\tan (y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\tan (y)$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $x \cos^{2} (y)$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $x \cos^{2} (y)$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

단계 4.3.2.2

$2$ 와 $x \cos (y) \sin (y)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

단계 4.3.2.3

괄호를 표시합니다.

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

단계 4.3.2.4

괄호를 표시합니다.

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

단계 4.3.2.5

$\cos (y)$ 와 $\sin (y) \cdot 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

단계 4.3.2.6

$\sin (y)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

단계 4.3.2.7

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

단계 4.3.2.8

$0$ 를 $x \sin (2 y)$ 에 더합니다.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

단계 4.3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

단계 4.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

단계 4.3.4

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

단계 4.3.5

$\cos (y)$ 및 $\cos^{2} (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.5.1

$2 \sin (y) \cos (y)$ 에서 $\cos (y)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

단계 4.3.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.5.2.1

$\cos^{2} (y)$ 에서 $\cos (y)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

단계 4.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

단계 4.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

단계 4.3.6

분수를 나눕니다.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

단계 4.3.7

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 을 $\tan (y)$ 로 변환합니다.

$\frac{2}{1} \tan (y)$

단계 4.3.8

$M$ 에 $x \cos^{2} (y)$ 를 대입합니다.

$2 \tan (y)$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

단계 5

적분 $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

단계 5.2

$\tan (y)$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (y) |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

단계 5.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

단계 5.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| \sec (y) |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

단계 5.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

단계 5.4.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| \sec (y) |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

단계 6

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\sec^{2} (y)$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$x \cos^{2} (y)$ 에 $\sec^{2} (y)$ 을 곱합니다.

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

단계 6.2

$\sec (y)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

단계 6.3

$\frac{1}{\cos (y)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

단계 6.4

$\cos^{2} (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.1

$x \cos^{2} (y)$ 에서 $\cos^{2} (y)$ 를 인수분해합니다.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

단계 6.4.2

공약수로 약분합니다.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

단계 6.4.3

수식을 다시 씁니다.

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

단계 6.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

단계 6.6

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x d x + \tan (y) d y = 0$

단계 6.7

$\tan (y)$ 에 $\sec^{2} (y)$ 을 곱합니다.

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x d x$

단계 8

$M (x, y) = x$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

단계 11.3

$\frac{1}{2} x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\frac{1}{2} x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

단계 11.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

단계 11.5

$0$ 를 $\frac{d g}{d y}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

단계 12

$\tan (y) \sec^{2} (y)$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

단계 12.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

단계 12.3

먼저 $u = \sec (y)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ 이므로 $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 12.3.1

$u = \sec (y)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 12.3.1.1

$\sec (y)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

단계 12.3.1.2

$\sec (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\sec (y) \tan (y)$ 입니다.

$\sec (y) \tan (y)$

단계 12.3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (y) = \int u d u$

단계 12.4

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

단계 12.5

$u$ 를 모두 $\sec (y)$ 로 바꿉니다.

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

단계 13

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

단계 14

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

단계 14.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\sec^{2} (y)$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$