미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = - 3 \sec^{2} (x - 7)$ , $y (7) = 7$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = - 3 \sec^{2} (x - 7) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int - 3 \sec^{2} (x - 7) d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int - 3 \sec^{2} (x - 7) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - 3 \int \sec^{2} (x - 7) d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = x - 7$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.2.1

$u = x - 7$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.2.1.1

$x - 7$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.3.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.3.2.1.4

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.3.2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - 3 \int \sec^{2} (u) d u$

단계 2.3.3

$\tan (u)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (u)$ 이므로, $\sec^{2} (u)$ 의 적분값은 $\tan (u)$ 이 됩니다.

$y + C_{1} = - 3 (\tan (u) + C_{2})$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$y + C_{1} = - 3 \tan (u) + C_{2}$

단계 2.3.5

$u$ 를 모두 $x - 7$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = - 3 \tan (x - 7) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = - 3 \tan (x - 7) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = - 3 \tan (x - 7) + K$ 에서 $x$ 에 $7$ 을, $y$ 에 $7$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$7 = - 3 \tan (7 - 7) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$- 3 \tan (7 - 7) + K = 7$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 3 \tan (7 - 7) + K = 7$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 3 \tan (7 - 7) + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$7$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$- 3 \tan (0) + K = 7$

단계 4.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.2.1

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 3 \cdot 0 + K = 7$

단계 4.2.1.2.2

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + K = 7$

단계 4.2.1.3

$0$ 를 $K$ 에 더합니다.

$K = 7$

단계 5

$y = - 3 \tan (x - 7) + K$ 의 $K$ 에 $7$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $7$ 를 대입합니다.

$y = - 3 \tan (x - 7) + 7$